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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:14 Fr 21.09.2012 | | Autor: | Katthi |
| Aufgabe | | Bestimmen Sie eine gebrochen-lineare Funktion, die den Kreisrand [mm] B_1(0)[/mm] auf die reelle Achse abbildet. |
Hallo Leute,
und zwar bin ich mir unsicher, wie ich diese Aufgabe schnell lösen kann. Sie war eine Aufgabe in unserer Klausur und da wir immer nur Mengen gegeben hatten, zu denen wir dann sagen sollten, ob ein Kreis oder eine Gerade auf einen Kreis oder eine Gerade abgebildet wird, konnte ich die Aufgabe nicht lösen.
Jetzt habe ich mich mal ein bisschen im Internet und in Büchern umgeschaut und dort bin ich auf die 6-Punkte-Formel gestoßen. Kann ich dir hier anwenden? Weil ich bräuchte dann ja 3 Wertepaare. Wie wähle ich diese denn aus? also ich weiß, dass es immer das Urbild zum Bild sein muss.
Müsste ich dann die Urbilder einfach aus der Ausgangsmenge nehmen, aber wie komme ich dann auf die entsprechenden Bilder?
Ich hoffe ihr könnt mir helfen. Vielen Dank schonmal.
Viele grüße
Katthi
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:43 Fr 21.09.2012 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Bestimmen Sie eine gebrochen-lineare Funktion, die den
> Kreisrand [mm]B_1(0)[/mm] auf die reelle Achse abbildet.
Das wird so nicht gehen. Es sei denn du meinst die erweiterte reelle Achse [mm] $\IR \cup \{ \infty \}$ [/mm] 
> und zwar bin ich mir unsicher, wie ich diese Aufgabe
> schnell lösen kann. Sie war eine Aufgabe in unserer
> Klausur und da wir immer nur Mengen gegeben hatten, zu
> denen wir dann sagen sollten, ob ein Kreis oder eine Gerade
> auf einen Kreis oder eine Gerade abgebildet wird, konnte
> ich die Aufgabe nicht lösen.
>
> Jetzt habe ich mich mal ein bisschen im Internet und in
> Büchern umgeschaut und dort bin ich auf die
> 6-Punkte-Formel gestoßen. Kann ich dir hier anwenden? Weil
> ich bräuchte dann ja 3 Wertepaare. Wie wähle ich diese
> denn aus? also ich weiß, dass es immer das Urbild zum Bild
> sein muss.
> Müsste ich dann die Urbilder einfach aus der Ausgangsmenge
> nehmen, aber wie komme ich dann auf die entsprechenden
> Bilder?
Such dir doch einfach ein paar schoene Punkte aus. Z.B. liegen $1$, $i$, $-1$ auf dem Kreis und $1$, $0$, $-1$ auf der reellen Achse.
Dann such dir irgendeine (nicht zu komplizierte) Zuordnung von Punkten auf den Kreis auf Punkte auf der Achse und wende die Formel an.
Alternativ kannst du auch etwas herumspielen. Einer der Kreispunkte muss nach [mm] $\infty$, [/mm] womit die gebrochenlineare Funktion auf dem Kreis einen Pol haben muss. Also kannst du etwa annehmen, dass der Nenner gleich $z - 1$ ist (dann wird $z = 1$ auf [mm] $\infty$ [/mm] geschickt). Also suchst du eine Funktion [mm] $\frac{a z + b}{z - 1}$ [/mm] mit $a [mm] \neq [/mm] 0, -b$. Setz doch mal ein paar einfache Werte ein und schau wohin sie abgebildet werden.
Wenn du jetzt noch verwendet, dass ein Kreis unter einer gebrochenlinearen Abbildungen entweder auf einen Kreis geht oder auf eine Gerade (wobei ein Kreispunkt auf Unendlich geht), dann weisst du dass das Bild eine Gerade sein muss und diese durch zwei Punkte auf ihr bestimmt ist. Damit solltest du schnell $a$ und $b$ bestimmen koennen, so dass die richtige Gerade herauskommt.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:55 Fr 21.09.2012 | | Autor: | Katthi |
Hey Felix,
danke für die schnelle Antwort.
hmm irgendwie stehe ich total auf dem Schlauch :D
also dass ein Punkt auf unendlich abgebildet werden muss, ist mir klar und dass dann, wenn man diesen als z = 1 setzt, dass dann die Singularität sein muss weiß ich auch.
Meinst du dann, weil ich ja weiß, dass ich auf die reelle Achse abbilde, dass ich dann zwei Punkte auf dieser einsetze?
Aber dann komme ich doch trotzdem nicht auf eine Lösung, da ich ja immernoch nicht das Urbild kenne. Weil, wenn ich ja die Transformation nicht kenne, wie kann ich dann was darüber sagen, welcher Punkt auf welchen abgebildet wird?!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:32 Fr 21.09.2012 | | Autor: | fred97 |
Felix hat Dir gesagt, dass eine möglich Moebiustrafo so aussehen kann:
$T(z)= [mm] \frac{a z + b}{z - 1} [/mm] $
Damit haben wir schon mal: [mm] T(1)=\infty
[/mm]
Bestimme nun a und b so, dass T(-1) [mm] \in \IR [/mm] und T(i) [mm] \in \IR.
[/mm]
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:30 Fr 21.09.2012 | | Autor: | Katthi |
ja und genau da liegt mein Problem, weil ich nicht weiß, wie ich daraus dann a und b bestimmen soll.... dadurch, dass ja die 1 auf unendlich abgebildet wird, weiß man ja überhaupt, dass es eine Gerade ist.
Aber irgendwie hakts, weil ich ja quasi 4 unbekannte habe, ich habe ja sowohl für a und b, als auch für T(-1) und T(i) keinen Wert.. ich weiß ja nur, dass die nur reelle Werte von 0 bis unendlich annehmen müssen.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:21 Sa 22.09.2012 | | Autor: | fred97 |
Du hast doch viel Freiheit !!
Machs doch so, dass T(-1)=0 und T(i)=1.
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:27 Sa 22.09.2012 | | Autor: | Katthi |
Achso, also kann ich einfach dann Punkte aus der Bildmenge nehmen. das bedeutet dann ja auch, dass viele verschiedene T(z) möglich sind, oder? Somit wäre dann der zweite Teil der Aufgabe, wo die Frage danach ist, ob die Transformation eindeutig ist, auch schon beantwortet, da sie ja nicht eindeutig ist, sondern von der Wahl der Punkte abhängt, oder?
Vielen Dank für die Hilfe, dann werde ich gleich mal rumrechnen, was für a und b herauskommt.
d.h. ich bekomme a = b heraus und zwar [mm] a = b = \bruch{i-1}{i+1} [/mm] woraus man erhält, dass [mm] T(z) = \bruch{i-1}{i+1} \bruch{z+1}{z-1} [/mm]
Das sieht doch ganz gut aus =)
Wie würde ich das ganz denn angehen, wenn ich jetzt die reelle Achse auf den Einhaitskreis abbilden möchte, also genau anders herum. Dann würde ich doch als Nenner z.B. z-2 nehmen können, oder? da ja die 2 nicht in der Bildmenge liegt, weshalb das Bild ein Kreis sein muss. mit den anderen beiden Paaren geht man dann genauso vor wie oben?!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:24 Sa 22.09.2012 | | Autor: | fred97 |
> Achso, also kann ich einfach dann Punkte aus der Bildmenge
> nehmen. das bedeutet dann ja auch, dass viele verschiedene
> T(z) möglich sind, oder? Somit wäre dann der zweite Teil
> der Aufgabe, wo die Frage danach ist, ob die Transformation
> eindeutig ist, auch schon beantwortet, da sie ja nicht
> eindeutig ist, sondern von der Wahl der Punkte abhängt,
> oder?
Ja, das habe ich Dir aber schon früher gesagt.
>
> Vielen Dank für die Hilfe, dann werde ich gleich mal
> rumrechnen, was für a und b herauskommt.
> d.h. ich bekomme a = b heraus und zwar [mm]a = b = \bruch{i-1}{i+1}[/mm]
> woraus man erhält, dass [mm]T(z) = \bruch{i-1}{i+1} \bruch{z+1}{z-1}[/mm]
>
> Das sieht doch ganz gut aus =)
bis auf [mm] \bruch{i-1}{i+1}. [/mm] Es ist [mm] \bruch{i-1}{i+1}=i
[/mm]
>
> Wie würde ich das ganz denn angehen, wenn ich jetzt die
> reelle Achse auf den Einhaitskreis abbilden möchte, also
> genau anders herum. Dann würde ich doch als Nenner z.B.
> z-2 nehmen können, oder? da ja die 2 nicht in der
> Bildmenge liegt, weshalb das Bild ein Kreis sein muss. mit
> den anderen beiden Paaren geht man dann genauso vor wie
> oben?!
Nimm doch [mm] T^{-1}
[/mm]
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:29 Sa 22.09.2012 | | Autor: | Katthi |
achja, kann man ja ausklammern das i...
Vielen Dank.
Ja klar kann man [mm] T^{-1} [/mm] nehmen, aber ich meinte wenn die Aufgabe driekt andersrum gestellt worden wäre, dann könnte man das so machen?! Wäre ja sonst etwas aufwendig erst T zuberechnen und davon dann die Inverse zuberechnen.
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