Möbius-Transformation < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:45 So 16.12.2007 | | Autor: | ebarni |
| Aufgabe | Geben Sie eine Möbius-Transformation mit der Eigenschaft:
h(0) = -1, h(1) = -i, [mm] h(\infty) [/mm] = 1
an. |
Hallo zusammen,
eine Möbius-Transformation ist ja definiert durch:
w = [mm] \bruch{az+b}{cz+d}, [/mm] wobei a,b,c,d [mm] \in \IC
[/mm]
Nun ist mir hier nicht so ganz klar, was z und was w ist.
Bekomme ich für z = -1 also w = 0, für z = -i also w = 1 und für z = 1 also w = [mm] \infty
[/mm]
oder ist es umgekehrt?
Wie würdet Ihr es verstehen?
Vielen Dank bereits im Voraus für eure Unterstützung!
Viele Grüße, Andreas
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:51 So 16.12.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Geben Sie eine Möbius-Transformation mit der Eigenschaft:
> h(0) = -1, h(1) = -i, [mm]h(\infty) = 1[/mm]
> an.
> Hallo zusammen,
>
> eine Möbius-Transformation ist ja definiert durch:
>
> w = [mm]\bruch{az+b}{cz+d},[/mm] wobei a,b,c,d [mm]\in \IC[/mm]
>
> Nun ist mir hier nicht so ganz klar, was z und was w ist.
Ich würde sagen, w=h(z).
> Bekomme ich für z = -1 also w = 0, für z = -i also w = 1
> und für z = 1 also w = [mm]\infty[/mm]
>
> oder ist es umgekehrt?
Umgekehrt.
Letzten Endes ist es aber egal, da die Umkehrung einer Möbiustransformation wieder eine Möbiustransformation ist.
Viele Grüße
Rainer
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:57 So 16.12.2007 | | Autor: | ebarni |
Hallo Rainer, vielen Dank für Deine schnelle Antwort. Damit kann ich mal versuchen, die Aufgabe weiter zu lösen!
Grüße nach Rheinland-Pfalz!
Andreas
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:00 Mi 19.12.2007 | | Autor: | ebarni |
Hallo zusammen,
ich habe also:
1. h(0) = -1
2. h(1) = -i
3. [mm] h(\infty) [/mm] = 1
Wenn ich Bedingung 1 einsetze, erhalte ich:
h(0) = [mm] \bruch{a*0+b}{c*0+d} [/mm] = -1 [mm] \gdw \bruch{b}{d} [/mm] = -1 [mm] \gdw [/mm] b = -d
Wenn ich Bedingung 2 einsetze, erhalte ich:
h(1) = [mm] \bruch{a*1+b}{c*1+d} [/mm] = -i [mm] \gdw \bruch{a-d}{c+d} [/mm] = -i (Wenn ich b=-d einsetze)
Wenn ich Bedingung 3 einsetze, erhalte ich:
[mm] h(\infty) [/mm] = [mm] \bruch{a*\infty+b}{c*\infty+d} [/mm] = 1
Irgendwie hilft mir das nicht weiter, auf die gesuchten Möbius-Koeffizienten a,b,c,d und damit auf die gesuchte Möbius-Transformation:
w = [mm] \bruch{az+b}{cz+d}
[/mm]
Ich weiß auch nicht wie ich mit dem [mm] \infty [/mm] in Bedingung 3 umgehen soll.
Für eure Hilfe wäre ich sehr dankbar!
Viele Grüße, Andreas
Ich habe diese Frage nirgends sonst gepostet!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:07 Mi 19.12.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Hallo zusammen,
>
> ich habe also:
>
> 1. h(0) = -1
> 2. h(1) = -i
> 3. [mm]h(\infty)[/mm] = 1
>
> Wenn ich Bedingung 1 einsetze, erhalte ich:
>
> h(0) = [mm]\bruch{a*0+b}{c*0+d}[/mm] = -1 [mm]\gdw \bruch{b}{d}[/mm] = -1
> [mm]\gdw[/mm] b = -d
>
> Wenn ich Bedingung 2 einsetze, erhalte ich:
>
> h(1) = [mm]\bruch{a*1+b}{c*1+d}[/mm] = -i [mm]\gdw \bruch{a-d}{c+d}[/mm] = -i
> (Wenn ich b=-d einsetze)
>
> Wenn ich Bedingung 3 einsetze, erhalte ich:
>
> [mm]h(\infty)[/mm] = [mm]\bruch{a*\infty+b}{c*\infty+d}[/mm] = 1
Das geht so nicht. Du musst h umformen:
[mm] h(z) = \bruch{a+b/z}{c+d/z} [/mm],
woraus
[mm] \lim_{z\rightarrow \infty} h(z) = \bruch{a}{c} [/mm]
folgt, also mit [mm]h(\infty) = 1[/mm]: a=c.
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:39 Mi 19.12.2007 | | Autor: | ebarni |
Hallo Rainer, zunächst einmal vielen Dank für Deinen post!
Es ist also
b = -d und a = c
Das ergibt insgesamt also:
h(z) = [mm] \bruch{az-d}{az+d}
[/mm]
Da gelten muss: h(0) = -1 erhalte ich ja:
h(0) = [mm] -\bruch{1}{1} [/mm] also d = 1
Weiterhin gilt: h(1) = -i damit bekomme ich:
-i = [mm] \bruch{a*1-d}{a*1+d}
[/mm]
-i = [mm] \bruch{a-d}{a+d}
[/mm]
Nun kann ich einsetzen d = 1 und erhalte:
-i = [mm] \bruch{a-1}{a+1}
[/mm]
und daraus:
a= [mm] \bruch{1-i}{1+i}
[/mm]
Insgesamt erhalte ich dann als gesuchte Möbius-Transformation:
h(z) = [mm] \bruch{\bruch{1-i}{1+i}*z - 1}{\bruch{1-i}{1+i}*z + 1}
[/mm]
Kann man das noch vereinfachen?
Viele Grüße, Andreas
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:42 Mi 19.12.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo Andreas!
> Hallo Rainer, zunächst einmal vielen Dank für Deinen post!
>
> Es ist also
>
> b = -d und a = c
>
> Das ergibt insgesamt also:
>
> h(z) = [mm]\bruch{az-d}{az+d}[/mm]
>
> Da gelten muss: h(0) = -1 erhalte ich ja:
>
> h(0) = [mm]-\bruch{1}{1}[/mm] also d = 1
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") Das hattest du doch schon reingesteckt und b=-d erhalten.
Außerdem stimmt es nicht, denn du bekommst
[mm]h(0) = - \bruch{d}{d} = -1 [/mm]
Daraus ergibt sich also nichts Neues.
> Weiterhin gilt: h(1) = -i damit bekomme ich:
>
> -i = [mm]\bruch{a*1-d}{a*1+d}[/mm]
>
> -i = [mm]\bruch{a-d}{a+d}[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Nun kann ich einsetzen d = 1 und erhalte:
Das kannst du in der Tat, aber aus einem ganz anderen Grund. In der Möbiustransformation sind die Zahlen a,b,c,d nur bis auf einen konstanten komplexen Faktor (ungleich 0) definiert, denn die Transformation ändert sich nicht, wenn du alle vier mit der gleichen Zahl malnimmst. Daher darfst du eine der vier Zahlen a,b,c,d einfach als 1 wählen.
> -i = [mm]\bruch{a-1}{a+1}[/mm]
>
> und daraus:
>
> a= [mm]\bruch{1-i}{1+i}[/mm]
>
> Insgesamt erhalte ich dann als gesuchte
> Möbius-Transformation:
>
> h(z) = [mm]\bruch{\bruch{1-i}{1+i}*z - 1}{\bruch{1-i}{1+i}*z + 1}[/mm]
>
> Kann man das noch vereinfachen?
Ja, zum Beispiel indem du Zähler und Nenner mit (1+i) malnimmst.
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:19 Mi 19.12.2007 | | Autor: | ebarni |
Hallo Rainer!
h(z) = [mm] \bruch{\bruch{1-i}{1+i} * z - 1}{\bruch{1-i}{1+i} * z + 1}
[/mm]
h(z) = [mm] \bruch{(\bruch{1-i}{1+i} * z - 1) * (1+i)}{(\bruch{1-i}{1+i} * z + 1) * (1+i)}
[/mm]
h(z) = [mm] \bruch{(1-i)* z - (1+i)}{(1-i) * z + (1+i)}
[/mm]
h(z) = [mm] \bruch{z - iz -1 - i}{z - iz +1+i}
[/mm]
Dann würde aber die Vorgabe h(0) = -1 nicht mehr stimmen, oder?
Grüße, Andreas
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:17 Do 20.12.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo Andreas!
> [mm]h(z) = \bruch{z - iz -1 - i}{z - iz +1+i}[/mm]
>
> Dann würde aber die Vorgabe h(0) = -1 nicht mehr stimmen,
> oder?
Doch: [mm] h(0) = \bruch{-1 - i}{ +1+i} = -1[/mm].
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:36 Do 20.12.2007 | | Autor: | ebarni |
Hi Rainer,
Vielleicht steh' ich aufm Schlauch, aber das [mm]h(0) = \bruch{-1 - i}{ +1+i} = -1[/mm] ist mir noch nicht so ganz klar...Das die Terme mit dem [mm]z[/mm] wegfallen bei [mm]z=0[/mm] ist klar, aber was ist mit dem [mm]i[/mm]?
Und [mm] h(\infty)=1 [/mm] kommt so zustande bei [mm]h(z) = \bruch{z - iz -1 - i}{z - iz +1+i}[/mm] ?
Wenn ich durch [mm]z[/mm] teile, erhalte ich doch:
[mm]h(z) = \bruch{1-i-\bruch{1}{z} - \bruch{i}{z}}{1-i+\bruch{1}{z} + \bruch{i}{z}}[/mm]
[mm]h(z) = \bruch{1-i-\bruch{1-i}{z}}{1-i+\bruch{1+i}{z}}[/mm]
[mm]h(z)_{\limes_{z\rightarrow\infty}} = \bruch{1-i}{1-i}[/mm]
[mm]h(z) = 1[/mm]
Ist das OK?
Grüße, Andreas
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:41 Do 20.12.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Vielleicht steh' ich aufm Schlauch, aber das [mm]h(0) = \bruch{-1 - i}{ +1+i} = -1[/mm]
> ist mir noch nicht so ganz klar...Das die Terme mit dem [mm]z[/mm]
> wegfallen bei [mm]z=0[/mm] ist klar, aber was ist mit dem [mm]i[/mm]?
[mm](-1-i) = (-1)(1+i) [/mm], bleibt nur -1 übrig.
> Und [mm]h(\infty)=1[/mm] kommt so zustande bei [mm]h(z) = \bruch{z - iz -1 - i}{z - iz +1+i}[/mm]
> ?
> Wenn ich durch [mm]z[/mm] teile, erhalte ich doch:
>
> [mm]h(z) = \bruch{1-i-\bruch{1}{z} - \bruch{i}{z}}{1-i+\bruch{1}{z} + \bruch{i}{z}}[/mm]
>
> [mm]h(z) = \bruch{1-i-\bruch{1-i}{z}}{1-i+\bruch{1+i}{z}}[/mm]
>
> [mm]h(z)_{\limes_{z\rightarrow\infty}} = \bruch{1-i}{1-i}[/mm]
>
> [mm]h(z) = 1[/mm]
>
> Ist das OK?
Ja.
Wenn dir diese Form ungewohnt ist, kannst du nochZähler und Nenner mit (1+i) erweitern:
[mm] h(z) = \bruch{(1-i)z-(1+i)}{(1-i)z+(1+i)} = \bruch{(1+i)(1-i)z-(1+i)^2}{(1+i)(1-i)z+(1+i)^2}
= \bruch{2z-2i}{2z+2i} = \bruch{z-i}{z+i} [/mm]
Viele Grüße
Rainer
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:50 Do 20.12.2007 | | Autor: | ebarni |
Hi Rainer, das ist super, vielen Dank, jetzt hab ichs begriffen.
Ich habe übrigens gerade noche eine Aufgabe gepostet, die mit Möbius zu tun hat.
Vielleicht kannst Du mal nen Blick drauf werfen und mir einen Tipp geben, dass wäre super.
Vielen, vielen Dank noch einmal für Deine Hilfe!
Grüße, Andreas
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