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Hallo zusammen, das Semester hat nun begonnen und ich sitze an einer Aufgabe fest und habe leider gar keinen Ansatz. Hoffe ihr könnt mir mit einigen Tipps weiterhelfen.
Seien K ein Körper n [mm] \in [/mm] IN und V:= [mm] K^{n x 1}. [/mm] Sei [mm] A\in K^{nxn}. [/mm]
Für K = [mm] \IQ [/mm] und n=2 seien A:= [mm] \pmat{ 0 & 1 \\ 1 & 1 } [/mm] und [mm] p:=x^{4} [/mm] + [mm] 2x^{2} [/mm] + 3.
Nun muss ich [mm] p\vektor{1 \\ 0 } [/mm] bestimmen.
Wie sollte ich am besten vorgehen ?
Ich danke euch schon im Voraus.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:56 Sa 18.10.2014 | | Autor: | fred97 |
> Hallo zusammen, das Semester hat nun begonnen und ich sitze
> an einer Aufgabe fest und habe leider gar keinen Ansatz.
> Hoffe ihr könnt mir mit einigen Tipps weiterhelfen.
>
> Seien K ein Körper n [mm]\in[/mm] IN und V:= [mm]K^{n x 1}.[/mm] Sei [mm]A\in K^{nxn}.[/mm]
>
> Für K = [mm]\IQ[/mm] und n=2 seien A:= [mm]\pmat{ 0 & 1 \\ 1 & 1 }[/mm] und
> [mm]p:=x^{4}[/mm] + [mm]2x^{2}[/mm] + 3.
>
> Nun muss ich [mm]p\vektor{1 \\ 0 }[/mm] bestimmen.
>
> Wie sollte ich am besten vorgehen ?
Ganz klar ist die Aufgabenstellung nicht. Ist das oben der Originalwortlaut ?
Vielleicht ist das so gemeint:
für x [mm] \in \IQ [/mm] ist p [mm] \in \IQ [/mm] und damit ist [mm]p\vektor{1 \\ 0 }=\vektor{p \\ 0 }[/mm]
FRED
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> Ich danke euch schon im Voraus.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:07 Sa 18.10.2014 | | Autor: | Sandra_161 |
Ja ist wörtlich entnommen. Belege dieses Semester Lineare Algebra 2 und dieses Thema wurde unter Moduln eingeführt.
Vor meinem Aufgabenteil gab es noch andere zu beweisende Aussagen, vllt. ist die Vor. darauf bezogen.
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 23:31 Sa 18.10.2014 | | Autor: | Lisa641 |
Hallo,ich muss die selbe Aufgabe lösen, doch weiß leider auch nicht wie ich genau vorgehen soll. In der Vorlesung wurden bereits Moduln und Modulhomomorphismen besprochen. Wie ich das auf diese Aufgabenstellung anwenden soll, ist mir auch noch nicht ganz klar.
Vielen Danke  LG
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:46 So 19.10.2014 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Hallo zusammen, das Semester hat nun begonnen und ich sitze
> an einer Aufgabe fest und habe leider gar keinen Ansatz.
> Hoffe ihr könnt mir mit einigen Tipps weiterhelfen.
>
> Seien K ein Körper n [mm]\in[/mm] IN und V:= [mm]K^{n x 1}.[/mm] Sei [mm]A\in K^{nxn}.[/mm]
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> Für K = [mm]\IQ[/mm] und n=2 seien A:= [mm]\pmat{ 0 & 1 \\ 1 & 1 }[/mm] und
> [mm]p:=x^{4}[/mm] + [mm]2x^{2}[/mm] + 3.
>
> Nun muss ich [mm]p\vektor{1 \\ 0 }[/mm] bestimmen.
Kann es sein, dass da [mm] $p(A)\vektor{1 \\ 0}$ [/mm] steht oder stehen sollte? $p(A)$ ist nämlich wieder ein Endomorphismus von $V$, und [mm] $p(A)\vektor{1 \\ 0}$ [/mm] definiert und kann einfach berechnet werden.
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:00 So 19.10.2014 | | Autor: | Sandra_161 |
Hallo,
nein die Aufgabenstellung ist genau so wie ich es geschrieben habe, habe leider keinen Tippfehler :/
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:13 So 19.10.2014 | | Autor: | Lisa641 |
Genau eine Teilaufgabe davor wird diese Bezeichnung verwendet. Also pV = p(A)V. Wie müsste ich das denn dann lösen ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:41 So 19.10.2014 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Genau eine Teilaufgabe davor wird diese Bezeichnung
> verwendet. Also pV = p(A)V.
Dann ist das hier vermutlich auch gemeint.
> Wie müsste ich das denn dann lösen ?
Es gibt zwei Möglichkeiten. Entweder bestimmst du erst die Matrix $p(A)$ und multiplizierst diese dann mit dem Vektor. Wenn du $p(A) v$ für viele verschiedene $v [mm] \in [/mm] V$ berechnen musst, ist das eine gute Idee.
Wenn du das nur für ein (oder zwei) $v$ berechnen musst, kannst du auch so vorgehen: $p(A) v = [mm] (A^4 [/mm] + 2 [mm] A^2 [/mm] + 3) v = [mm] A^4 [/mm] v + 2 [mm] A^2 [/mm] v + 3 v$. Wenn du jetzt $B := [mm] A^2$ [/mm] ausrechnest, kannst du $B v$ und $B [mm] \cdot [/mm] (B v)$ ausrechnen, und das dann in [mm] $B^2 [/mm] v + 2 B v + 3 v$ einsetzen. Wenn du das noch ausrechnest bist du fertig.
(Alternativ kannst du auch $A v$, $A [mm] \cdot [/mm] (A v)$, $A [mm] \cdot (A^2 [/mm] v)$, $A [mm] \cdot (A^3 [/mm] v)$ ausrechnen der Reihe nach.)
LG Felix
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