Mod. Besselfunktion 1.&2. Art < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:44 Do 19.08.2010 | | Autor: | Denny22 |
Hallo an alle Bessel-Spezialisten,
ich habe auf der Wolfram Seite gelesen, dass Folgendes gelten soll: Seien [mm] $n\in\IZ$ [/mm] und [mm] $z\in\IC$, [/mm] dann gilt
[mm] $K_n(z)\approx\left(\frac{\pi}{2}\right)^{\frac{1}{2}}e^{-z}z^{-\frac{1}{2}}=\sqrt{\frac{\pi}{2}}\frac{e^{-z}}{\sqrt{z}}$ [/mm] für [mm] $|z|\rightarrow\infty$ [/mm] (1)
wobei [mm] $K_n(z)$ [/mm] die modifizierte Besselfunktion 2. Gattung/Art ist, d. h.
[mm] $K_n(z):=\lim_{\nu\to n,\nu\not\in\IZ}K_{\nu}(z):=\lim_{\nu\to n,\nu\not\in\IZ}\frac{\pi}{2\sin(\pi\nu)}\left(I_{-\nu}(z)-I_{\nu}(z)\right)$ [/mm] (2)
und [mm] $I_{\nu}(z)$ [/mm] die modifizierte Besselfunktion 1. Gattung/Art ist, d. h.
[mm] $I_{\nu}(z):=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{\left(\frac{z}{2}\right)^{2k+\nu}}{\Gamma(k+n+1)k!}$. [/mm] (3)
Setze ich die Definition aus (3) in (2) ein, so komme ich auf
[mm] $K_n(z)=\lim_{\nu\to n,\nu\not\in\IZ}\frac{\pi}{2}\frac{1}{\sin(\pi\nu)}\left(\sum_{k=0}^{\infty}\frac{\left(\frac{z}{2}\right)^{2k}}{\Gamma(k+n+1)k!}\right)\left[\left(\frac{z}{2}\right)^{-\nu}-\left(\frac{z}{2}\right)^{\nu}\right]$
[/mm]
Aber wie erhalte ich einen Ausdruck der Form (1)? Ich wäre über jede Hilfe dankbar. Auch wenn jemand mir speziell zu der Abschätzung (1) einen Literaturhinweis geben könnte.
Vielen Dank
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:35 Do 09.09.2010 | | Autor: | Denny22 |
Vielen Dank fuer die Hinweise. Diese haben mir sehr weitergeholfen.
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