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Mittelwertsatz anwenden: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:09 Fr 06.07.2012
Autor: rollroll

Aufgabe
Sei f: IR-->IR eine diffbare Fkt mit f(0)=0, deren Ableitung f' eine monoton wachsende Fkt ist. Zeige, dass:
g(0, [mm] \infty [/mm] )--IR, g(x)= [mm] \bruch{f(x)}{x} [/mm] monoton wachsend ist.

Also, wenn f' monoton wachsend ist, so ist f'' [mm] \ge [/mm] 0 [mm] \forall [/mm] x [mm] \in [/mm] IR. Weiß aber nicht, ob man das braucht. Mann will ja zeigen: g'(x) [mm] \ge [/mm] 0 [mm] \forall [/mm] x [mm] \in [/mm] (0, [mm] \infty). [/mm] Von daher hätte ich mal mit dem Differenzenquotient angesetzt, also [mm] \limes_{x\rightarrow a} \bruch{g(x)-g(a)}{x-a}. [/mm] Im nächsten Schritt würde ich dann g(x) durch [mm] \bruch{f(x)}{x} [/mm] ersetzen. Kann man so ansetzen? Ich sehe allerdings noch nicht, wo man den Mittelwertsatz einsetzen kann...

        
Bezug
Mittelwertsatz anwenden: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:56 Fr 06.07.2012
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

vorweg: versuch doch bitte wenigstens den Formel-Editor zu nutzen. Das machht es für alle lesenden wirklich erträglicher.

>  Also, wenn f' monoton wachsend ist, so ist f'' [mm]\ge[/mm] 0

Wo steht, dass f überhaupt zweimal differenzierbar ist?
f'' muss gar nicht existieren.

> Mann will ja zeigen: g'(x) [mm]\ge[/mm] 0 [mm]\forall[/mm] x

Das könnte man zeigen, ja.

> Von daher hätte ich mal mit dem Differenzenquotient
> angesetzt, also [mm]\limes_{x\rightarrow a} \bruch{g(x)-g(a)}{x-a}.[/mm]
> Im nächsten Schritt würde ich dann g(x) durch
> [mm]\bruch{f(x)}{x}[/mm] ersetzen. Kann man so ansetzen? Ich sehe
> allerdings noch nicht, wo man den Mittelwertsatz einsetzen
> kann...

Du kannst g'(x) doch direkt mit Hilfe der Quotientenregel hinschreiben.
Mach das doch mal.

MFG,
Gono.

Bezug
                
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Mittelwertsatz anwenden: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:27 Fr 06.07.2012
Autor: rollroll

Also g'(x)= [mm] \bruch{f'(x)*x-f(x)}{x^2} [/mm] und das soll [mm] \ge [/mm] 0 sein.
Damit dieser Bruch [mm] \ge [/mm] 0 ist, muss ja f'(x)*x [mm] \ge [/mm] f(x) sein, oder (der Nenner ist ja eh positiv)?
Wie kann ich dann den Mittelwertsatz einsetzen?

Bezug
                        
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Mittelwertsatz anwenden: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:26 Fr 06.07.2012
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> Also g'(x)= [mm]\bruch{f'(x)*x-f(x)}{x^2}[/mm] und das soll [mm]\ge[/mm] 0  sein.

[ok]

>  Damit dieser Bruch [mm]\ge[/mm] 0 ist, muss ja f'(x)*x [mm]\ge[/mm] f(x)
> sein, oder (der Nenner ist ja eh positiv)?

[ok]

>  Wie kann ich dann den Mittelwertsatz einsetzen?

Er steht doch förmlich schon da!
Wende den Mittelwertsatz mal auf die Stellen x und 0 an. Überlege dir, wo die Zwischenstelle herkommt und nutze dann noch, dass f' monoton wachsend ist.

MFG,
Gono.

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Mittelwertsatz anwenden: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:42 Fr 06.07.2012
Autor: rollroll

Also, der Mittelwertsatz besagt ja, dass (wenn f stetig und diffbar in (a,b)) es ein c [mm] \in [/mm] (a,b) gibt mit [mm] f'(c)=\bruch{f(b)-f(a)}{b-a}. [/mm]
Wenn jetzt also x [mm] \in [/mm] (0, [mm] \infty) [/mm] ist, dann ist [mm] f'(x)=\bruch{f(b)}{b}. [/mm] Also existiert ja in unsrem Fall ein x [mm] \in [/mm] (0, [mm] \infty) [/mm] mit f'(x)*x [mm] \ge [/mm] f(x). Die Schnittstelle liegt also zwischen 0 und [mm] \infty [/mm] Damit ist ja dann auch x >0
man muss sich doch jetzt ,,nur'' noch überlegen, dass f'(x) [mm] \ge [/mm] f(x) ist. Oder lege ich ganz daneben?

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Mittelwertsatz anwenden: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:10 Fr 06.07.2012
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> Also, der Mittelwertsatz besagt ja, dass (wenn f stetig und diffbar in (a,b)) es ein c [mm]\in[/mm] (a,b) gibt mit [mm]f'(c)=\bruch{f(b)-f(a)}{b-a}.[/mm]

"stetig und diffbar".... gibt es denn eine Funktion die unstetig und diffbar ist?

> Wenn jetzt also x [mm]\in[/mm] (0, [mm]\infty)[/mm] ist,

Hier ist es schon falsch. Für den Mittelwertsatz brauchst du ein Intervall, [mm] $(0,\infty)$ [/mm] ist keins. Der Rest deiner Argumentation ist auch fehlerhaft und daher unbrauchbar.

Ich sagte doch bereits: Du sollst den Mittelwertsatz auf die zwei Punkte 0 und x anwenden! Warum hast du das ignoriert? Setze also b=x, a=0 dann steht da....

MFG,
Gono.

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Mittelwertsatz anwenden: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:23 Sa 07.07.2012
Autor: rollroll

Wenn a=0 und b=x ist, hätte man ja schonmal ein Intervall [0;x]. Dann würde da stehen, dass es ein c [mm] \in [/mm] [0,x] gibt, mit [mm] f'(c)=\bruch{f(x)}{x}. [/mm] f(0) hebt sich ja auf, da f(0)=0 ist.

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Mittelwertsatz anwenden: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:48 Sa 07.07.2012
Autor: SEcki


> Wenn a=0 und b=x ist, hätte man ja schonmal ein Intervall
> [0;x]. Dann würde da stehen, dass es ein c [mm]\in[/mm] [0,x] gibt,
> mit [mm]f'(c)=\bruch{f(x)}{x}.[/mm] f(0) hebt sich ja auf, da f(0)=0
> ist.

Vergleiche nun mit [m]f'(x)[/m].

SEcki


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Mittelwertsatz anwenden: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:51 Sa 07.07.2012
Autor: rollroll

Nun ja, dann ist f'(x) [mm] \ge [/mm] f'(c).
Bezug
                                                                        
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Mittelwertsatz anwenden: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:53 Sa 07.07.2012
Autor: fred97


> Nun ja, dann ist f'(c)=f'(x).

Unsinn !

f' ist nach Vor. mon. wachsend. Wegen c [mm] \le [/mm] x ist dann f'(c) [mm] \le [/mm] f'(x)

FRED


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Mittelwertsatz anwenden: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:57 Sa 07.07.2012
Autor: SEcki


> Nun ja, dann ist f'(x) [mm]\ge[/mm] f'(c).  

Oh Mann. Ja, das stimmt, aber mach doch einfach die Aufgabe zu Ende! Sollen wir dir jetzt noch einmal den Thread laut vorlesen?

SEcki


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Mittelwertsatz anwenden: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:07 Sa 07.07.2012
Autor: rollroll

Kann ich daraus sofort folgern, dass f'(x) * x [mm] \ge [/mm] f(x) ist?

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Mittelwertsatz anwenden: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:06 Sa 07.07.2012
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> Kann ich daraus sofort folgern, dass f'(x) * x [mm]\ge[/mm] f(x) ist?

Wir nehmen dir hier nicht das denken ab, also ehrlich:

Schreibe doch bitte nochmal die letzten 4-5 Fragen // Antworten untereinander auf, heißt:

Wende den Mittelwertsatz an, schätze ab. Welche Ungleichung steht dann da.
Folgt daraus obige Ungleichnung.

Also bitte....

MFG,
Gono.

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