Mittelwertsatz < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:47 Sa 26.04.2008 | | Autor: | Irmchen |
Guten Tag alle zusammen!
Ich habe in der Vorlesung zu Analysis I zwei Mittelwerte kennengelernt.
Den "normalen" Mittelwertsatz sprich denjenigen, der in wesentlichen aussagt, dass es einen Punkt von f geben muss, indem die Tangente T parallel zu der Sehne ist. Also genauer:
Mittelwertsatz :
Sei [mm] f: \left[a,b \right] \to \mathbb R [/mm] eine stetige Funktion, die auf [mm] [mm] \left] a,b \right[ [/mm] differenzierbar ist. Dann gibt es ein [mm] x \in \left] a, b \right[ [/mm] mit
[mm] f' (x) = \bruch{ f(b) - f(a) }{ b - a } [/mm].
Und dann später den
Verallgemeinerten Mittelwertsatz:
Seien [mm] f,g : \left[ a,b \right] \to \mathbb R [/mm] stetige Funktionen, die auf [mm] \left] a,b \right[ [/mm] differenzierbar seinen.
Dann existiert ein [mm] \xi \in \left] a,b \right[ [/mm] mit
[mm] ( f(b) - f(a) ) \cdot g'( \xi ) = ( g(b) - g(a) ) \cdot f' ( \xi ) [/mm]
Das was ich nicht verstehe ist wofür ich den Verallgemeinerten Mittelwertsatz benötige und was er genau aussagt ???
Vielen Dank!
Viele Grüße
Irmchen
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:25 Sa 26.04.2008 | | Autor: | abakus |
> Guten Tag alle zusammen!
>
> Ich habe in der Vorlesung zu Analysis I zwei Mittelwerte
> kennengelernt.
> Den "normalen" Mittelwertsatz sprich denjenigen, der in
> wesentlichen aussagt, dass es einen Punkt von f geben muss,
> indem die Tangente T parallel zu der Sehne ist. Also
> genauer:
>
> Mittelwertsatz :
>
> Sei [mm]f: \left[a,b \right] \to \mathbb R[/mm] eine stetige
> Funktion, die auf [mm][mm]\left] a,b \right[[/mm] differenzierbar ist. Dann gibt es ein [mm]x \in \left] a, b \right[[/mm] mit
[mm]f' (x) = \bruch{ f(b) - f(a) }{ b - a } [/mm].
Und dann später den
Verallgemeinerten Mittelwertsatz:
Seien [mm]f,g : \left[ a,b \right] \to \mathbb R[/mm] stetige Funktionen, die auf [mm]\left] a,b \right[[/mm] differenzierbar seinen.
Dann existiert ein [mm]\xi \in \left] a,b \right[[/mm] mit
[mm]( f(b) - f(a) ) \cdot g'( \xi ) = ( g(b) - g(a) ) \cdot f' ( \xi )[/mm]
Das was ich nicht verstehe ist wofür ich den Verallgemeinerten Mittelwertsatz benötige und was er genau aussagt ???
Vielen Dank!
Viele Grüße
Irmchen
Hallo,
ich nehme mal an, das dieser Satz im Laufe der nächsten Lehrveranstaltungen als Beweismittel für einige Sätze angewendet wird.
Zur Bedeutung: Wenn du beide Seiten noch durch (b-a) teilst, entstehen die Terme [mm] \bruch{f(b) - f(a)}{b-a} [/mm] bzw. [mm] \bruch{g(b) - g(a)}{b-a}. [/mm]
Diese beiden Brüche stehen für einen "mittleren" Anstieg der Funktionen f(x) und g(x).
Die konkreten Anstiege f'( [mm] \xi [/mm] ) bzw. g'( [mm] \xi [/mm] ) an den verschiedenen Stellen [mm] \xi [/mm] sind mal kleiner und mal größer als diese durchschnittlichen Anstiege. Wenn du nun noch die Gleichung durch f'( [mm] \xi [/mm] ) und g'( [mm] \xi [/mm] ) teilst, erhältst du auf beiden Seiten jeweils das Verhältnis des durchschnittlichen und des konkreten Anstiegs. Diese Verhältnisse ändern sich für beide Funktionen f und g in der Regel (wenn es keine linearen Funktionen sind) beim Durchlaufen des Intervalls [a;b] ständig.
Es gibt nun einfach eine Stelle, an der diese beiden Verhältnisse gleich sein müssen.
Viele Grüße
Abakus
Das heißt, das Ve
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:16 Mi 30.04.2008 | | Autor: | fred97 |
Der verallg. Mittelwertsatz wird im Beweis der Regeln von de l' Hospital benötigt.
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:48 Mi 30.04.2008 | | Autor: | Irmchen |
Vielen Dank für die Hilfe!
Viele Grüße
Irmchen
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