Mittelwerteigenschaft < partielle < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Sei [mm] \Omega\subset\mathbb{R}^{n} [/mm] offen und [mm] u\in C^{2}(\Omega,\mathbb{R}) [/mm] mit [mm] \triangle [/mm] u=0 in [mm] \Omega. [/mm] Dann gilt für jede Kugel [mm] B_{R}(x)\subset\Omega:
[/mm]
[mm] u(x)=\frac{1}{\sigma_{n}(R)}\int_{\partial B_{R}(x)}u(y)d\sigma(y). [/mm]
Hierbei bezeichnet [mm] \sigma_{n}(R) [/mm] die “Oberfläche” bzw. Sphäre der n-dimensionalen Kugel mit Radius R.
Beweisen Sie dies. |
Der mir vorliegende Beweis ist falsch, ich weiß aber in etwa wie es am Ende aussehen soll, also würde ich das gerne entsprechend verbessern. OBdA x=0.
Zunächst einmal betrachte ich die Funktion [mm] f(r)=\frac{1}{\sigma_{n}(r)}\int_{\partial B_{r}(0)}u(y)d\sigma(y).
[/mm]
Dann gilt [mm] f(r)=\frac{1}{r^{n-1}\sigma_{n}(1)}\int_{\partial B_{1}(0)}r^{n-1}u(rz)d\sigma(z).
[/mm]
Bildet man nun die Ableitung: [mm] f'(r)=\frac{1}{\sigma_{n}(1)}\int_{\partial B_{1}(0)}\nabla u(rz)\cdot z\, d\sigma(z)=\frac{1}{\sigma_{n}(1)}\int_{\partial B_{1}(0)}\sum_{j=1}^{n}D_{j}u(rz)z_{j}\, d\sigma(z).
[/mm]
Jetzt soll der Satz von Gauß in der Form [mm] \int_{B_{r}(x)}D_{j}u(x)dx=\int_{\partial B_{r}(x)}u(x)n_{j}(x)d\sigma(x) [/mm] angewendet werden, sodass man dann am Ende in dem Integral den Laplace Operator stehen hat. Allerdings kann ich nicht sehen, warum man Gauß anwenden kann, da steht doch bei mir nirgends ein Normalenvektor drin. [mm] z_{j} [/mm] ist doch keine Komponente eines Normalenvektors. Kann mir jemand sagen, warum man das anwenden darf?
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:45 Do 10.03.2011 | | Autor: | Walde |
Hi T_sleeper,
da ich meiner Antwort leider selbst nicht ganz vertraue, stelle ich die Frage nur auf tw. beantwortet, dann können noch andere was dazu sagen und mich ggf. korrigieren:
Der Vektor [mm] z\in\IR^n [/mm] entsteht ja nach der Transformation y=rz, r ist der Radius der Kugel. Während y auf dem Rand der Kugel mit Radius r ist, ist z auf dem Rand der Einheitskugel. Jetzt kommts erst: da du obdA als Mittelpunkt x=0 angenommen hast (was ok ist, denn sonst transformiert man einfach vorher noch den Mittelpunkt der Kugel in den Ursprung), ist also z gerade der Vekor, der den Ursprung=Mittelpunkt der Einheitskugel auf einen Randpunkt (mit Ortsvetor z abbildet) und der ist natülich senkrecht zur Kugeloberfläche.
Ich hoffe, ich konnte helfen.
LG walde
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:21 Fr 11.03.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
|
