Minus mal Minus ergibt Plus < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Wie folgere Ich aus den Körperaxiomen, dass die Multiplikation zweier Elemente eines Körpers K äquivalent zu der Multiplikation der jeweiligen inversen Elemente ist?
Wie erkläre Ich es einem Nicht-Mathematiker (spez. Juristen)?
Hinweis: Beweis soll ohne die Anordnungsaxiome erfolgen!
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(Antwort) fehlerhaft  | | Datum: | 15:25 Do 09.11.2006 | | Autor: | Sashman |
Moin Samaeli23!
In einem Körper gelten folgende Rechenregeln, die direkt aus den Körperaxiomen folgen:
(1) $-(-a)=a$
(2) [mm] $x+b=a\gdw [/mm] x=a-b$
(3) $-(a+b)=-a-b$
(4) $0*a=a*0=0$
(5) $(-a)b=a(-b)=-ab$
(6) $(-a)(-b)=ab$
und noch ein par andere. Um (6) zu Beweisen brauchen wir:
Die Beweise:
(1) [mm] $a+(-a)=0\Rightarrow [/mm] a=-(-a)$
(2) [mm] $'\Rightarrow'$
[/mm]
[mm] $x+b=a\to (x+b)-b=a-b\to x+(b-b)=a-b\to x+0=a-b\to [/mm] x=a-b$
[mm] $'\Leftarrow'$
[/mm]
$(a-b)+b=a+(b-b)=a+0=a$
(4) $0*a=(0+0)*a=0*a+0*a [mm] \Rightarrow [/mm] 0*a=0$ wegen (2)
(5) $ab+(-a)b=(a+(-a))b=0*b=0$ wegen (4) [mm] $\Rightarrow [/mm] (-a)b=-ab$
(6) $(-a)(-b)=-(a(-b))=-(-ab)=ab$ nach (5) und (1)
hoffe das war so gemeint, wenn du willst kannst du ja die benutzten Körperaxiome selbst noch zufügen.
MfG
Sashman
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(Korrektur) Korrekturmitteilung  | | Datum: | 21:10 Do 09.11.2006 | | Autor: | Samaeli23 |
Hallo Sashman!
Vielen Dank, deine Ausführungen haben mir sehr geholfen.
Allerdings glaube Ich, einen geringfügigen Fehler im Beweis des zweiten Satzes entdeckt zu haben.
Da subtrahierst du an beiden Seiten der Gleichung das Element b.
Da in einem Körper aber nur die Addition und die Multiplikation definiert ist,
wäre es vorteilhafter, mit (-b) zu addieren. Der Rest folgt dann genauso...
Nochmals vielen Dank,
Andreas
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(Korrektur) Korrekturmitteilung | | Datum: | 22:52 Do 09.11.2006 | | Autor: | Sashman |
Moin Samaeli23!
Du hast natürlich in soweit recht das ich die Definition:
Seien [mm] $a,b\in [/mm] K$. Dann heißt $a-b=a+(-b)$ die Differenz von a und b. Die Operation [mm] $(a,b)\mapsto [/mm] a-b$ heißt Subtraktion.
vergessen habe. Was meine Ausführungen aber nicht minder richtig macht.
Und ein Rechtswisssenschaftler hätte das sowiso nie gemerkt 
MfG
Sashman
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