Minkowski-Summe beschraenkt < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Seien [mm] A,B\subseteq\IR, [/mm] A und B sind nicht leer. Aus der Vorlesung ist uns die Minkowski Summe wie folgt definiert:
A+B = {x+y: [mm] x\in [/mm] A, [mm] y\in [/mm] B}
Man soll zeigen, dass A+B genau dann nach oben beschränkt ist, wenn sowohl A als auch B nach oben beschränkt sind und im Falle der Beschränktheit von A und B gilt: sup(A+B) = sup(A) + sup(B) |
Also wie gehe ich bei der Beschränktheit vor?
Ich könnte formulieren [mm] x+y\le [/mm] s.....mit [mm] x\inA [/mm] und [mm] y\in [/mm] B aber mit welchen Rechenumformungen weise ich die Beschränktheit für die einzlenen nach?
Und das Supremeum was ist das und wie weise ich das nach?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Es heißt ja beweistechnisch im Prinzip ich gehe von der Beschränktheit der Summe beider Mengen aus ( die ich als Elemente x aus A und y aus B definiert habe) , und daraus muss ich die Beschränktheit von A und zu gleich B folgern.....aber wie sieht das aus....wie gehe ich da weiter vor.....?
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Wie schreibe ich das formaltechnisch sauber?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:35 Mi 15.12.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
du musst doch 2 richtungen zeigen, 1
1. A,B beschr folgt A+B beschr einfach direkt zeigen
und
2 A+B beschr. folgt A beschr und B beschr.
2. am einfachsten mit einem Widersprichsbeweis
schreiv auf, wenn du nicht sicher bist post es hier und es wird schon jemand dran rumkriteln wenns nicht gut ist.
Gruss leduart
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Verdammt vielen Danke wie gehe ich aber den Beweis sup(A+B) = sup(a)+sup(B) an?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:17 Mi 15.12.2010 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Verdammt vielen Danke wie gehe ich aber den Beweis sup(A+B)
> = sup(a)+sup(B) an?
das kommt drauf an, wie ihr das Supremum definiert habt (da gibt es verschiedene Möglichkeiten:
1. Für eine nach oben beschränkte Menge [mm] $M\,$ [/mm] ist [mm] $S:=\text{sup}M$ [/mm] genau dann, wenn [mm] $S\,$ [/mm] obere Schranke für [mm] $M\,$ [/mm] ist und für jedes [mm] $\epsilon [/mm] > 0$ ein [mm] $m=m(\epsilon) \in [/mm] M$ existiert mit $m > S - [mm] \epsilon$
[/mm]
oder
2. [mm] $\ldots$
[/mm]
oder
.
.
.)
bzw. welche Charakterisierungen Du diesbezüglich bereits kennst.
Zudem:
Wie sieht denn Dein bisheriger Beweis aus? (Dass die (Minkowski-)Summe zweier nach oben beschränkter Mengen nach oben beschränkt ist, ist klar - man addiere die jeweiligen Schranken und hat dann eine für diese Summe. Bei der anderen Beweisrichtung kann man sich sehr einfach eine gegen [mm] $\infty$ [/mm] strebende Folge basteln - ist eigentlich genauso einfach).
Eine Möglichkeit hier wäre die folgende:
Benutze (bzw. erstmal nachschlagen, ob das bereits bewiesen wurde - ansonsten beweise es selbst):
Für eine nach oben beschränkte Menge [mm] $M\,$ [/mm] ist genau dann [mm] $S=\text{sup}M\,,$ [/mm] wenn [mm] $S\,$ [/mm] obere Schranke für [mm] $M\,$ [/mm] ist und eine Folge [mm] $(m_n)_n$ [/mm] in [mm] $M\,$ [/mm] existiert, die gegen [mm] $S\,$ [/mm] strebt.
Damit sollte der Beweis dann sehr einfach sein:
Sei [mm] $S_A$ [/mm] das Supremum von [mm] $A\,$ [/mm] und [mm] $S_B$ [/mm] das Supremum von [mm] $B\,.$ [/mm]
Dann gilt:
1. [mm] $S:=S_A+S_B$ [/mm] ist obere Schranke für die Minkowskisumme [mm] $A+B\,.$ [/mm] (Begründung?)
2.) Nach obigen Satz (Richtung [mm] $\Rightarrow$) [/mm] existieren [mm] $a_n \in [/mm] A$ und [mm] $b_n \in [/mm] B$ mit [mm] $a_n \to S_A$ [/mm] und [mm] $b_n \to S_B\,.$ [/mm] Wegen 1.) und der Richtung [mm] $\Leftarrow$ [/mm] müssen wir also nur noch die Existenz einer Folge [mm] $(c_n)_n$ [/mm] in [mm] $A+B\,$ [/mm] mit [mm] $c_n \to S_A+S_B$ [/mm] nachweisen.
Tipp für die [mm] $c_n$: [/mm] Summe zweier konvergenter Folgen strebt gegen die Summe der beiden Grenzwerte.
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:25 Mi 15.12.2010 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Und das Supremeum was ist das und wie weise ich das nach?
wenn Du mit dem Begriff nichts anfangen kannst, so ist entweder Eure Vorlesung "ein wenig schlampisch" aufgebaut, oder aber Du arbeitest nicht genügend mit bzw. nach. Schau' erst mal nach, wie Ihr diesen Begriff eingeführt habt.
Es gibt verschiedene (äquivalente) Möglichkeiten der Definition:
[mm] $S\,$ [/mm] ist genau dann das Supremum der nach oben beschränkte Menge [mm] $M\,,$ [/mm] wenn [mm] $S\,$ [/mm] die kleinste obere Schranke ist
oder
[mm] $S\,$ [/mm] ist genau dann das Supremum der nach oben beschränkte Menge [mm] $M\,,$ [/mm] wenn [mm] $S\,$ [/mm] obere Schranke von [mm] $M\,$ [/mm] ist und eine (nicht notwendig monoton wachsende) Folge in [mm] $M\,$ [/mm] existiert, die gegen $S$ strebt
oder
[mm] $S\,$ [/mm] ist genau dann das Supremum der nach oben beschränkte Menge [mm] $M\,,$ [/mm] wenn [mm] $S\,$ [/mm] obere Schranke von [mm] $M\,$ [/mm] ist und für alle [mm] $\epsilon [/mm] > 0$ ein Element in $M$ existiert, dass [mm] $S-\epsilon$ [/mm] übertrifft...
Gruß,
Marcel
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