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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:57 Fr 09.09.2005 | | Autor: | BennoO. |
Guten Abend zusammen.
Ich hab hier folgende Aufgabe zum Minkowskiraum:
Sei V der Minkowski-Raum mit einer Raum-und einer Zeitdimension, das heißt:
V ist ein zweidimensionaler [mm] \IR-Vektorraum [/mm] mit Basis {x,t}, so daß
<x,x>=1, <x,t>=0, <t,t>=-1.
Beschreibe explizit die Lorentz-Gruppe von V, d.h die Menge aller 2x2-Matrizen A mit <v,w>=<Av,Aw> für alle v,w aus V.
Also, der Minkowski-Raum ist ja im Prinzip nichts anderes als das Skalarprodukt im [mm] \IR^4. [/mm] Definiert ist es also (hier) als: [mm] :=x_1t_1+x_2t_2+x_3t_3-x_4t_4. [/mm] Ist es nun richtig anzunehmen das ich, da V nun nur eine Raum- und eine Zeitdimension haben soll, ich 2 Raumkoordinaten unterdrücken muss? also [mm] =x_1t_1-x_2t_2 [/mm] hab? (Skalarprodukt im [mm] \IR^2) [/mm] Was mache ich nun? Muß ich schauen welche Vektoren die angegeben Skalarprodukte erfüllen, und im Falle dessen, diese später dann als Basisvektoren auffassen?
Ich weiß das ich hier keinen sonderlich guten Ansatz gebracht habe, aber alles was ich sonst über Minkowskiräume gelesen habe, geht zur sehr inne Physik rein. Wäre nett wenn mir hier jemand wenigstens ne'n tipp oder ne kleine Anleitung zur Aufgabe geben könnte.
grüße Benno
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:33 Sa 10.09.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo!
Ich bin mir nicht ganz sicher, ob ich jetzt das mache, was gefordert ist. Bezüglich der gegebenen Basis $(x,t)$ sieht die Gleichung wie folgt aus:
[mm] $v^TA^T \pmat{1 & 0 \\ 0 & -1} [/mm] Aw = [mm] v^T \pmat{1 & 0 \\ 0 & -1} [/mm] w$
für alle [mm] $v,\, [/mm] w [mm] \in \IR^2$ [/mm] (als Koordinatenvektoren bezüglich der gegebenen Basis entwickelt).
Daraus folgt:
[mm] $A^T \pmat{1 & 0 \\ 0 & -1}A [/mm] = [mm] \pmat{1 & 0 \\ 0 & -1}$.
[/mm]
Dies bedeutet ausgeschrieben, dass die folgenden Gleichungen gelten müssen:
[mm] $a_{11}^2 [/mm] - [mm] a_{21}^2=1$
[/mm]
[mm] $a_{11}a_{12} [/mm] - [mm] a_{21}a_{22} [/mm] =0$
[mm] $a_{12} a_{11} [/mm] - [mm] a_{22}a_{21}=0$
[/mm]
[mm] $a_{12}^2 [/mm] - [mm] a_{22}^2=-1$.
[/mm]
Man sieht aber leicht, dass dies genau dann der Fall ist, wenn $A$ von der folgenden Form ist:
(*) $A = [mm] \pmat{\cosh(\varphi) & \sinh(\varphi) \\ \sinh(\varphi) & \cosh(\varphi)}$
[/mm]
für ein geeignetes [mm] $\varphi$.
[/mm]
Es gehören also genau die Transformationen zu dieser Lorentz-Gruppe, deren Matrizdarstellung bezüglich der Basis $(x,t)$ von der Form (*) sind.
Viele Grüße
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:17 Sa 10.09.2005 | | Autor: | BennoO. |
Hallo Stefan.
Also erstmal danke für deien Antwort. Deine Lösung hab ich in einer ähnlichen Art auch in einem meiner LA-Bücher gefunden. Dein Ergebniss ist also richtig. (nur als Hinweis, weil du dir, in Bezug auf die Aufgabenstellung, nicht sicher warst)
Allerdings leuchtet mir die Lösung noch nicht so ein. Sind die Gleichungen, die du angibst, (sprich [mm] a_1^2-a_2^2=1 [/mm] etc.) für den [mm] \IR^2 [/mm] so definiert, oder hast du, durch meine angebene Skalarprodukte, auf andere Weise drauf geschlossen? Ferner hab ich noch ein Verständnissproblem, was deine Darstellungsmatrix [mm] \pmat{ cosh & sinh \\ sinh & cosh } [/mm] betrifft. Mir ist schon klar, wie du auf die Matrix kommst, jedoch versteh ich nicht, wieso du vorher dazu noch Gleichugnen angeben musst. Theoretisch gesehen, sehe ich das doch schon an der Matrix [mm] \pmat{ 1 & 0 \\ 0 & -1 }, [/mm] oder nicht!?
Schonmal Danke im vorraus.
Viele Grüße Benno
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:38 Mo 12.09.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo Benno!
> Also erstmal danke für deien Antwort. Deine Lösung hab ich
> in einer ähnlichen Art auch in einem meiner LA-Bücher
> gefunden. Dein Ergebniss ist also richtig. (nur als
> Hinweis, weil du dir, in Bezug auf die Aufgabenstellung,
> nicht sicher warst)
Gut, das beruhigt mich. 
> Allerdings leuchtet mir die Lösung noch nicht so ein. Sind
> die Gleichungen, die du angibst, (sprich [mm]a_1^2-a_2^2=1[/mm]
> etc.) für den [mm]\IR^2[/mm] so definiert, oder hast du, durch
> meine angebene Skalarprodukte, auf andere Weise drauf
> geschlossen?
Ich habe diese Gleichung
$ [mm] A^T \pmat{1 & 0 \\ 0 & -1}A [/mm] = [mm] \pmat{1 & 0 \\ 0 & -1} [/mm] $
auf beiden Seiten ausgerechnet und dann einen Koeffizientenvergleich gemacht.
> Ferner hab ich noch ein Verständnissproblem,
> was deine Darstellungsmatrix [mm]\pmat{ cosh & sinh \\ sinh & cosh }[/mm]
> betrifft. Mir ist schon klar, wie du auf die Matrix kommst,
> jedoch versteh ich nicht, wieso du vorher dazu noch
> Gleichugnen angeben musst. Theoretisch gesehen, sehe ich
> das doch schon an der Matrix [mm]\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & -1 },[/mm]
> oder nicht!?
Nein, das eine hat mit dem anderen nichts zu tun. Während [mm]\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & -1 }[/mm] die Darstellungsmatrix der Bilinearform ist, ist $A$ die Darstellungsmatrix derjenigen linearen Abbildung, die orthogonal bezüglich der Bilinearform ist (also etwas ganz anderes!), und um letztere ging es hier ja.
Viele Grüße
Stefan
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