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| Aufgabe | f (x,y) = [mm] (y-x^2)(y-2x^2)
[/mm]
Zeigen Sie, dass jede Einschränkung der Funktion auf eine Gerade durch den Nullpunkt ein lokales Minimum im Nullpunkt besitzt. Begründes Sie, dass die Funktion im Nullpunkt aber kein lokales Extremum besitzt. |
Hallo,
ich weiß bei dieser Aufgabe nicht weiter.
Habe mir gedacht, irgendwie die funktion auf Extrema zu untersuchen.
Dann weiß ich auch nicht mehr richtig weiter.
Hoffe ihr könnt mir helfen.
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Hallo mathestudent111,
> f (x,y) = [mm](y-x^2)(y-2x^2)[/mm]
>
> Zeigen Sie, dass jede Einschränkung der Funktion auf eine
> Gerade durch den Nullpunkt ein lokales Minimum im Nullpunkt
> besitzt. Begründes Sie, dass die Funktion im Nullpunkt
> aber kein lokales Extremum besitzt.
> Hallo,
>
> ich weiß bei dieser Aufgabe nicht weiter.
>
> Habe mir gedacht, irgendwie die funktion auf Extrema zu
> untersuchen.
Dann lass uns doch an Deinen Gedanken teilhaben.
> Dann weiß ich auch nicht mehr richtig weiter.
>
> Hoffe ihr könnt mir helfen.
Das können wir erst, wenn wir wissen, wie weit
Du mit Deinen Rechnungen gekommen bist.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:52 Di 21.06.2011 | | Autor: | makey |
hi, ich sitze gerade an der gleichen Aufgabe, und habe nun erstmal gezeigt dass im Nullpunkt ein kritischer punkt ist.
Also f'(x,y)=[ -2xy - [mm] 4x^2 [/mm] + [mm] 4x^3 [/mm] ; 2y - [mm] 3x^2 [/mm] ]
und f'(x,y)=0 wenn x=0 und y=0
weiter hab ich dann noch die Hessematrix berechnet und gesehen dass diese im Punkt (0,0) negativ semidefinit ist. Nur weiß ich nun nicht wie es weiter gehen soll...
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Hallo makey,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> hi, ich sitze gerade an der gleichen Aufgabe, und habe nun
> erstmal gezeigt dass im Nullpunkt ein kritischer punkt
> ist.
> Also f'(x,y)=[ -2xy - [mm]4x^2[/mm] + [mm]4x^3[/mm] ; 2y - [mm]3x^2[/mm] ]
> und f'(x,y)=0 wenn x=0 und y=0
>
> weiter hab ich dann noch die Hessematrix berechnet und
> gesehen dass diese im Punkt (0,0) negativ semidefinit ist.
Rechne das mal vor.
> Nur weiß ich nun nicht wie es weiter gehen soll...
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:33 Di 21.06.2011 | | Autor: | makey |
wie vorrechnen? das was ich schon angeschrieben hab?
also f''= [mm] \vmat{ -2y-16x^3+12x^2 & -3x \\ -2x & 2 } [/mm] (ich sehe grad ich hatte mich geirrt, Hf(0,0) ist positiv semidefinit.
Und nun?
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Hallo makey,
> wie vorrechnen? das was ich schon angeschrieben hab?
> also f''= [mm]\vmat{ -2y-16x^3+12x^2 & -3x \\ -2x & 2 }[/mm] (ich
> sehe grad ich hatte mich geirrt, Hf(0,0) ist positiv
> semidefinit. Und nun?
Setzt jetzt [mm]y=t*x, \ t \in \IR[/mm] und zeige,
daß (0,0) ein lokales Extremum ist.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:52 Di 21.06.2011 | | Autor: | makey |
das verstehe ich nicht ganz, also f''(x,tx) und da nun gucken ob diese positiv oder negativ definit ist?
Und wie komme ich auf y=tx?
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Hallo makey,
> das verstehe ich nicht ganz, also f''(x,tx) und da nun
> gucken ob diese positiv oder negativ definit ist?
Setze in die Funktionsgkeichung für y gleich t*x ein.
Unntersuche demach die Funkion [mm]f\left(x,t*x\right)[/mm] auf mögliche Extrema.
> Und wie komme ich auf y=tx?
Eine Gerade, die durch den Ursprung geht,
hat die Gleichung y=t*x.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:31 Di 21.06.2011 | | Autor: | makey |
Acho klar, das mit der Geraden macht Sinn, nur glaub ich sitze ich immer noch ein bisschen aufm Schlauch...
Ich habe nun den ganzen Weg über Jakobi- und Hessematrix nochmal für f(x,tx) durchgeführt und bekomme da [mm] Jf(x,tx)=[2xt^2-7tx^2+6x^3 [/mm] 0] raus, macht das Sinn?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:21 Mi 22.06.2011 | | Autor: | makey |
Ich hab das nun nochmal überdacht.
Also wenn ich f(x,tx) auf extrema untersuche, dann hab ich ja an sich nur noch eine Variable, also x, und nicht mehr zwei wie vorhin x und y.
Dementsprechend bräucht ich doch dann auch keine Jakobi- und Hessematrix mehr zum suchen von Extrema, sondern muss nur noch [mm] (tx-x^2)(tx-2x^2) [/mm] nach x ableiten.
[mm] f'(x,xt)=2xt^2-3tx^2*8x^3
[/mm]
und f'(0,0*t)=0 => f hat Extremum in x=0
und weiter hab ich [mm] f''(x,xt)=2(t^2-3tx+12x^2) [/mm] >0 => f ist in x=0 konvex
ist das so richtig, und kann ich dann daraus schließen dass (0,0) ein lokales minimum ist?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:50 Mi 22.06.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
du hast es richtig gemacht, ich hab in f' [mm] 9tx^2 [/mm] statt deiner 3 [mm] tx^2 [/mm] aber das ändert am Resultat nichts.
d.h. entlang jeder Geraden hat die fkt ein min in 0.
Hat damit auch f(x,y) ein Minimum? Es gibt ja auch andere wege nach 0!
gruss leduart
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:51 Mi 22.06.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
Zum glück hast du dich ja selbst korrigiert
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 07:18 Mi 22.06.2011 | | Autor: | makey |
Naja, die Fragestellung besagt ja eigentlich schon dass es nicht so ist, also dass zwar die einschränkung ein Minimum ein lokales Minimum besitzt, nicht aber die Funktion.
Aber wie ich das nun begründe weiß ich nicht :/
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:14 Mi 22.06.2011 | | Autor: | fred97 |
> Naja, die Fragestellung besagt ja eigentlich schon dass es
> nicht so ist, also dass zwar die einschränkung ein Minimum
> ein lokales Minimum besitzt, nicht aber die Funktion.
> Aber wie ich das nun begründe weiß ich nicht :/
Betrachte [mm] f(x,3x^2) [/mm] und [mm] f(x,\bruch{3}{2}x^2)
[/mm]
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:26 Mi 22.06.2011 | | Autor: | makey |
hab ich gemacht, aber da krieg ich dann wieder das gleiche raus, also in beiden Fällen eine erste und zweite Ableitung welche im Nullpunkt wieder Null ergeben, also hätte ich doch dann auch da wieder ein Minimum in (0,0).
Oder mach ich grad irgendwas falsch?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:19 Mi 22.06.2011 | | Autor: | fred97 |
Berechne doch mal einfach $ [mm] f(x,3x^2) [/mm] $ und $ [mm] f(x,\bruch{3}{2}x^2) [/mm] $ und lass das Ableiten.
Du wirst sehen:
$ [mm] f(x,\bruch{3}{2}x^2) \le [/mm] 0 =f(0,0) [mm] \le f(x,3x^2) [/mm] $ für alle x [mm] \in \IR.
[/mm]
Und das bedeutet ?
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:46 Mi 22.06.2011 | | Autor: | makey |
ich habs nun mit [mm] f(x,x^2) [/mm] versucht, da kommt dann [mm] f(x,x^2)=0 [/mm] raus, was ja eine Konstante hat, welche kein Extremum hat, geht das dann so auch als Begründung?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:50 Mi 22.06.2011 | | Autor: | fred97 |
> ich habs nun mit [mm]f(x,x^2)[/mm] versucht, da kommt dann
> [mm]f(x,x^2)=0[/mm] raus, was ja eine Konstante hat, welche kein
> Extremum hat, geht das dann so auch als Begründung?
Nein.
Warum machst Du nicht das, was ich Dir gesagt habe ?
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:37 Mi 22.06.2011 | | Autor: | makey |
okok, mir war nach deinem ersten Tipp nicht ganz klar wie mich das weiterbringen könnte, deswegen hab ich's auch noch mit anderen Beispielen versucht die mich weiterbringen könnten...
Also ich habs nun so gemacht wie du gesagt hast, mit [mm] f(x,1/3x^2) [/mm] und [mm] f(x,3x^2) [/mm] was mir zeigt dass f(0,0) zwischen diesen beiden Werten liegt, und somit kein Minimum sein kann.
Aber warum kann ich nicht auch mit [mm] f(x,x^2) [/mm] argumentieren?
Gruß Makey
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Hallo makey,
> okok, mir war nach deinem ersten Tipp nicht ganz klar wie
> mich das weiterbringen könnte, deswegen hab ich's auch
> noch mit anderen Beispielen versucht die mich weiterbringen
> könnten...
>
> Also ich habs nun so gemacht wie du gesagt hast, mit
> [mm]f(x,1/3x^2)[/mm] und [mm]f(x,3x^2)[/mm] was mir zeigt dass f(0,0)
> zwischen diesen beiden Werten liegt, und somit kein Minimum
> sein kann.
![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]") ![[bahnhof]](/images/smileys/bahnhof.gif "[bahnhof]")
Das ist kein Gegenbsp. - was kommt denn raus, wenn du das konkret ausrechnest?
Doch zwei Funktionen in einer Variablen x, die in 0 ein Minumum haben.
Freds Bsp. war ein anderes, da bekommst du 2 Funktionen - eine mit Min., die andere mit Max. in 0
Und Min und Max glz. ...
> Aber warum kann ich nicht auch mit [mm]f(x,x^2)[/mm]
> argumentieren?
Wie ist das denn mit konstanten Funktionen? Haben die kein Extremum oder überall eines?
>
> Gruß Makey
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:12 Do 23.06.2011 | | Autor: | makey |
oh man, klar, so langsam gehen die Lichte auf ^^ (bin wohl ein schwieriger Schüler ;) )
die Konstante hat natürlich überall ein minimum bzw. Maximum, und somit hab ich damit nix bewiesen.
Hab nun [mm] f(x,3x^2) [/mm] und [mm] f(x,1/3x^2) [/mm] mit Hilfe der ersten und zweiten Ableitung auf Extrema untersucht und tatsächlich für die erste ein Minimum und die zweite ein Maximum in x=0.
Somit hat f kein Extremum in (0,0)
Nun müsste alles gelöst sein, oder ist da noch was falsches drin?
Gruß Makey
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Hallo nochmal,
> oh man, klar, so langsam gehen die Lichte auf ^^ (bin wohl
> ein schwieriger Schüler ;) )
>
> die Konstante hat natürlich überall ein minimum bzw.
> Maximum, und somit hab ich damit nix bewiesen.
>
> Hab nun [mm]f(x,3x^2)[/mm] und [mm]f(x,1/3x^2)[/mm] mit Hilfe der ersten und
> zweiten Ableitung auf Extrema untersucht und tatsächlich
> für die erste ein Minimum und die zweite ein Maximum in
> x=0.
Verstehe ich nicht! Rechne hier konkret vor, was du für [mm]f(x,3x^2)[/mm] und [mm]f(x,1/3x^2)[/mm] herausbekommst. Diesen Funktionen (wenn man sie konkret hinschreibt) sieht man doch direkt an, dass sie beide in 0 ein Minimum haben ...
Freds Bsp ist immer noch ein anderes, da kannst du [mm]f(x,1/3x^2)[/mm] noch so oft hinschreiben.
> Somit hat f kein Extremum in (0,0)
> Nun müsste alles gelöst sein, oder ist da noch was
> falsches drin?
M.E. ist das noch nicht ok!
>
> Gruß Makey
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:57 Do 23.06.2011 | | Autor: | makey |
Sorry, ich meinte natürlich [mm] f(x,3/2^2). [/mm] Da krieg ich für die erste Ableitung -1/2x und für die zweite dann -1/2 raus, und somit hat [mm] f(x,3/2x^2) [/mm] ein Maximum in x=0.
So besser?
Gruß Makey
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Hallo nochmal,
> Sorry, ich meinte natürlich [mm]f(x,3/2^2).[/mm]
Aha! Heureka!
> Da krieg ich für
> die erste Ableitung -1/2x und für die zweite dann -1/2
> raus, und somit hat [mm]f(x,3/2x^2)[/mm] ein Maximum in x=0.
Puh, kennst du denn das nicht mehr aus der Mittelstufe?
[mm]f(x,3/2x^2)=-1/4x^4[/mm] ist eine nach unten geöffnete Parabel mit Scheitel in 0.
Da musst du doch nix ableiten ....
>
> So besser?
Ja!
>
> Gruß Makey
![[gutenacht]](/images/smileys/gutenacht.gif "[gutenacht]")
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 01:04 Do 23.06.2011 | | Autor: | makey |
Haha :D
doch, aber irgendwie hab ich im Studium das Gefühl dass wir trotzdem alles immer irgendwie noch weiter zeigen müssen, und da dachte ich wäre es mit der Ableitung deutlicher gezeigt...
naja, auf jedenfall vielen Dank für die Geduld und die vielen hilfreichen Tips :)
gute Nachte ;)
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