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Forum "Uni-Analysis-Sonstiges" - Minimalwert

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Minimalwert: Frage (beantwortet)

Status:	(Frage) beantwortet
Datum:	17:41 Mi 27.06.2012
Autor:	eps

Aufgabe

 [mm] g(x)=\bruch{mx^{m+1 }+ ((m+ 1) a - mx)^{m+1}}{m+ 1}
 [/mm]

zu zeigen dass für [mm] \bruch{a}{(p+1)} [/mm] < x < a + [mm] \bruch{p}{(m(p+1))} [/mm] a, x [mm] \not= [/mm] a gilt

[mm] g(x)>a^{m+1} [/mm]

Ich habe schon mit der Lagrange-Multiplikation gezeigt, dass [mm] g(a)=a^{m+1} [/mm] Maximal- oder Minimalwert ist. Nun bleibt zu zeigen, dass es sich um einen Minimalwert handelt.
Die Ableitungen der Funktion lauten
[mm] g'(x)=mx^m-m((m+1)a-mx)^m [/mm]
[mm] g''(x)=m^2x^{m-1}-m^3((m+1)a-mx)^{m-1} [/mm]

aber setze ich jetzt [mm] \bruch{a}{(p+1)} [/mm] bzw a + [mm] \bruch{p}{(m(p+1))} [/mm] a in die erste Ableitung ein, so erhalte ich nicht [mm] g'(x_0) [/mm] =0
Liegt es daran, dass das x für den Minimalwert diese Werte nicht annimmt?
Und wie kann ich anders zeigen, dass der Minimalwert an dieser Stelle [mm] a^{m+1} [/mm] ist?

Bezug

Minimalwert: Antwort

Status:	(Antwort) fertig
Datum:	10:13 Fr 29.06.2012
Autor:	meili

Hallo,

> [mm]g(x)=\bruch{mx^{m+1 }+ ((m+ 1) a - mx)^{m+1}}{m+ 1}[/mm]
>  zu
> zeigen dass für [mm]\bruch{a}{(p+1)}[/mm] < x < a +
> [mm]\bruch{p}{(m(p+1))}[/mm] a, x [mm]\not=[/mm] a gilt
>  [mm]g(x)>a^{m+1}[/mm]

Gibt es irgendwelche Angaben zu p?
>
>
> Ich habe schon mit der Lagrange-Multiplikation gezeigt,
> dass [mm]g(a)=a^{m+1}[/mm] Maximal- oder Minimalwert ist. Nun bleibt

Warum mit Lagrange-Multiplikation?
Einfach 1.Ableitung Nullsetzen reicht doch.

> zu zeigen, dass es sich um einen Minimalwert handelt.
>  Die Ableitungen der Funktion lauten
>  [mm]g'(x)=mx^m-m((m+1)a-mx)^m[/mm]

> [mm]g''(x)=m^2x^{m-1}-m^3((m+1)a-mx)^{m-1}[/mm]

[mm]g''(x)=m^2x^{m-1}+m^3((m+1)a-mx)^{m-1}[/mm]

Gibt es irgendwelche Angaben zu m und a?

g''(a) > 0?

>
> aber setze ich jetzt [mm]\bruch{a}{(p+1)}[/mm] bzw a +
> [mm]\bruch{p}{(m(p+1))}[/mm] a in die erste Ableitung ein, so
> erhalte ich nicht [mm]g'(x_0)[/mm] =0
>  Liegt es daran, dass das x für den Minimalwert diese
> Werte nicht annimmt?
>  Und wie kann ich anders zeigen, dass der Minimalwert an
> dieser Stelle [mm]a^{m+1}[/mm] ist?

Wenn an der Stelle x=a das einzige lokale Minimum ist,
und es keine lokalen Maxima gibt, ist die Einschränkung
[mm]\bruch{a}{(p+1)}[/mm] < x < a +  [mm]\bruch{p}{(m(p+1))}[/mm] a bedeutungslos.

Gruß
meili