Minimalpolynom einer lin. Abb. < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | V endlich-dim. K-VR, f Endomorphismus von V. Zeige:
[mm] $f^{2} [/mm] = f [mm] \gdw \chi_{f}^{min}(t)|t*(t-1)$ [/mm] (Das Minimalpolynom von f ist Teiler vom Polynom $t*(t-1)$. |
Hallo!
Ich habe hier eine Aufgabe, die mir seltsam einfach erscheint. Deswegen frage ich euch, ob in meiner Argumentation ein Lücke ist:
[mm] $f^{2} [/mm] = f [mm] \gdw f^{2}-f [/mm] = 0 [mm] \gdw f\circ (f-id_{V}) [/mm] = 0 [mm] \gdw \chi_{f}^{min}(t)|t*(t-1)$.
[/mm]
War das schon alles?
Die Äquivalenz des letzten Schrittes würde ich so begründen:
"-->": Man kann sehen, dass $\ p(t) = t*(t-1)$ ein Polynom ist, das die Eigenschaft $p(f) = 0$ erfüllt. Wir haben in der Vorlesung gehabt ($K[ t ]$ Polynomraum):
[mm] $\Big\{p\in K[ t ]\Big|p(f) = 0\Big\} [/mm] = [mm] \Big\{\chi_{f}^{min}*p\Big|p\in K[ t ]\Big\}$ [/mm] (*)
Das bedeutet im Klartext für mich: Wenn ich ein Polynom finde, dass die Eigenschaft $p(f) = 0$ erfüllt, muss es ein Vielfaches vom Minimalfpolynom von f sein. Mit anderen Worten: Das Minimalpolynom ist Teiler von diesem p.
"<--": Umgekehrt, wenn das Minimalpolynom Teiler von $p(t) = t*(t-1) [mm] \ $ [/mm] ist, ist $p(t)$ Vielfaches vom Minimalpolynom und damit gilt wegen (*) die Gleichung $p(f) = 0$.
Stimmt das so?
Grüße,
Stefan
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> V endlich-dim. K-VR, f Endomorphismus von V. Zeige:
> [mm]f^{2} = f \gdw \chi_{f}^{min}(t)|t*(t-1)[/mm] (Das
> Minimalpolynom von f ist Teiler vom Polynom [mm]t*(t-1)[/mm].
> Hallo!
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> Ich habe hier eine Aufgabe, die mir seltsam einfach
> erscheint. Deswegen frage ich euch, ob in meiner
> Argumentation ein Lücke ist:
>
> [mm]f^{2} = f \gdw f^{2}-f = 0 \gdw f\circ (f-id_{V}) = 0 \gdw \chi_{f}^{min}(t)|t*(t-1)[/mm].
>
> War das schon alles?
> Die Äquivalenz des letzten Schrittes würde ich so
> begründen:
>
> "-->": Man kann sehen, dass [mm]\ p(t) = t*(t-1)[/mm] ein Polynom
> ist, das die Eigenschaft [mm]p(f) = 0[/mm] erfüllt. Wir haben in
> der Vorlesung gehabt ([mm]K[ t ][/mm] Polynomraum):
>
> [mm]\Big\{p\in K[ t ]\Big|p(f) = 0\Big\} = \Big\{\chi_{f}^{min}*p\Big|p\in K[ t ]\Big\}[/mm]
> (*)
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> Das bedeutet im Klartext für mich: Wenn ich ein Polynom
> finde, dass die Eigenschaft [mm]p(f) = 0[/mm] erfüllt, muss es ein
> Vielfaches vom Minimalfpolynom von f sein. Mit anderen
> Worten: Das Minimalpolynom ist Teiler von diesem p.
Hallo,
bis hierher stimmt's.
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> "<--": Umgekehrt, wenn das Minimalpolynom Teiler von [mm]p(t) = t*(t-1) \ [/mm]
> ist, ist [mm]p(t)[/mm] Vielfaches vom Minimalpolynom und damit gilt
> wegen (*) die Gleichung [mm]p(f) = 0[/mm].
>
> Stimmt das so?
Ja. Bloß nun mußt Du noch vermitteln, warum [mm] f=f^2 [/mm] gilt.
Gruß v. Angela
> Grüße,
> Stefan
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Hallo Angela,
danke für deine Antwort!
> > [mm]f^{2} = f \gdw f^{2}-f = 0 \gdw f\circ (f-id_{V}) = 0 \gdw \chi_{f}^{min}(t)|t*(t-1)[/mm].
> > "<--": Umgekehrt, wenn das Minimalpolynom Teiler von [mm]p(t) = t*(t-1) \ [/mm]
> > ist, ist [mm]p(t)[/mm] Vielfaches vom Minimalpolynom und damit gilt
> > wegen (*) die Gleichung [mm]p(f) = 0[/mm].
> >
> > Stimmt das so?
>
> Ja. Bloß nun mußt Du noch vermitteln, warum [mm]f=f^2[/mm] gilt.
Kann ich dazu einfach die obige Äquivalenz wieder benutzten?
Danke für Eure Hilfe!
Grüße,
Stefan
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> > > [mm]f^{2} = f \gdw f^{2}-f = 0 \gdw f\circ (f-id_{V}) = 0 \gdw \chi_{f}^{min}(t)|t*(t-1)[/mm].
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> > > "<--": Umgekehrt, wenn das Minimalpolynom Teiler von [mm]p(t) = t*(t-1) \ [/mm]
> > > ist, ist [mm]p(t)[/mm] Vielfaches vom Minimalpolynom und damit gilt
> > > wegen (*) die Gleichung [mm]p(f) = 0[/mm].
> > >
> > > Stimmt das so?
> >
> > Ja. Bloß nun mußt Du noch vermitteln, warum [mm]f=f^2[/mm] gilt.
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> Kann ich dazu einfach die obige Äquivalenz wieder
> benutzten?
Hallo,
Du meinst diese: [mm] f^{2} [/mm] = f [mm] \gdw f\circ (f-id_{V}) [/mm] = 0 ? Ja, das sollte gehen.
Mir ist aber etwas anderes eingefallen, was ich vorher nicht beachtet habe, was aber natürlich ebenfalls für die andere Richtung relevant ist - und eigentlich auch kein Problem ist:
man muß ja erstmal von [mm] f\circ (f-id_{V}) [/mm] = 0 zu p(f)=0 für p(t)=t*(t-1) kommen.
Aber dieses Einsetzen habt Ihr sicher irgendwo behandelt.
Gruß v. Angela
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Hallo Angela,
danke für deine Antwort!
Das mit dem Einsetzen hatten wir.
Grüße,
Stefan
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