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Forum "Lineare Algebra Sonstiges" - Minimalpolynom ausrechnen
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Minimalpolynom ausrechnen: Rückfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:54 Mo 21.05.2012
Autor: Studi91

Aufgabe
Berechne das Minimalpolynom von A := [mm] \pmat{ 4 & -2 & 2 \\ -5 & 7 & -5 \\ -6 & 7 & -4 }, [/mm] wobei A [mm] \in M_{3x3}(\IC). [/mm]

Hallo,
ich habe zu dieser Matrix das char. Polynom ausgerechnet:
[mm] p_{A}(x) [/mm] = [mm] (-x+2)(x^2-5x+11) [/mm]
Ist das jetzt schon das Minimalpolynom, da bei beiden Termen der Exponent 1 ist, das Polynom also schon minimalen Grad hat?

Grüße

        
Bezug
Minimalpolynom ausrechnen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:12 Mo 21.05.2012
Autor: Schadowmaster

moin,

> Berechne das Minimalpolynom von A := [mm]\pmat{ 4 & -2 & 2 \\ -5 & 7 & -5 \\ -6 & 7 & -4 },[/mm]
> wobei A [mm]\in M_{3x3}(\IC).[/mm]
>  Hallo,
>  ich habe zu dieser Matrix das char. Polynom ausgerechnet:
>  [mm]p_{A}(x)[/mm] = [mm](-x+2)(x^2-5x+11)[/mm]
>  Ist das jetzt schon das Minimalpolynom, da bei beiden
> Termen der Exponent 1 ist, das Polynom also schon minimalen
> Grad hat?

Den Exponenten des zweiten Terms würde ich eher als 2 bezeichnen...
Darüber hinaus bist du über [mm] $\IC$, [/mm] also kannst du den zweiten in zwei lineare Faktoren zerlegen.
Wenn du das gemacht hast dann lässt sich auch die Frage klären, ob dies das Minimalpolynom ist oder nicht (wie?).
Überdies hat dieses Polynom Grad 3, und daran ändert auch keine Faktorisierung etwas, von daher ist es etwas unschön hier von einem minimalen Grad zu sprechen.

>
> Grüße

lg

Schadow


Bezug
                
Bezug
Minimalpolynom ausrechnen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:51 Mo 21.05.2012
Autor: Studi91

Stimmt, an eine feinere Zerlegung habe ich nicht gedacht.
Dann ist das char. Polynom:
[mm] p_{A}(x):=(-x+2)(x [/mm] - [mm] \bruch{1}{2}(5-i*\wurzel{19}))(x [/mm] + [mm] \bruch{1}{2}(5-i*\wurzel{19})) [/mm]
Und dies ist dann auch das Minimalpolynom, da alle Nullstellen von Vielfachheit 1 sind.
Begründung so richtig?

Vielen Dank

Bezug
                        
Bezug
Minimalpolynom ausrechnen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:59 Mo 21.05.2012
Autor: Schadowmaster


> Stimmt, an eine feinere Zerlegung habe ich nicht gedacht.
>  Dann ist das char. Polynom:
>  [mm]p_{A}(x):=(-x+2)(x[/mm] - [mm]\bruch{1}{2}(5-i*\wurzel{19}))(x[/mm] +
> [mm]\bruch{1}{2}(5-i*\wurzel{19}))[/mm]
>  Und dies ist dann auch das Minimalpolynom, da alle
> Nullstellen von Vielfachheit 1 sind.
>  Begründung so richtig?


Jo, jetzt sieht das gut aus.


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