Minimalpolynom < Eigenwerte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:19 Di 05.07.2011 | | Autor: | Gunzi |
| Aufgabe | Sei m das Minimalpolynom zu A und p das charakteristische Polynom zu A.
Zeige m(x)=0 g.d.w. p(x)=0. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Ich habe schon die Rückrichtung gezeigt (über Eigenvektor zum Eigenwert), weiß aber nicht wie ich von "x ist Nullstelle von m" auf "dann ist x auch Nullstelle von p" komme...
Gunzi
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:51 Di 05.07.2011 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Sei m das Minimalpolynom zu A und p das charakteristische
> Polynom zu A.
> Zeige m(x)=0 g.d.w. p(x)=0.
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
> Ich habe schon die Rückrichtung gezeigt (über
> Eigenvektor zum Eigenwert), weiß aber nicht wie ich von "x
> ist Nullstelle von m" auf "dann ist x auch Nullstelle von
> p" komme...
Das ist eigentlich die einfachere Richtung 
Zeige zuerst: $m$ ist ein Teiler von $p$
Daraus folgerst du die Behauptung.
[Wie du das zeigen kannst? Mach Division mit Rest: $p = q [mm] \cdot [/mm] m + r$ mit [mm] $\deg [/mm] r < [mm] \deg [/mm] m$. Was folgt jetzt mit Cayley-Hamilton und der Definition des Minimalpolynoms?]
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:01 Di 05.07.2011 | | Autor: | Gunzi |
Ja klar...Da saß ich auf dem Schlauch. Vielen Dank an dich!
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