Minimalpolynom < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:14 Fr 14.05.2010 | | Autor: | alina00 |
| Aufgabe | Bestimmen Sie das Minimalpolynom [mm] \mu [/mm] der Matrix
0 0 -a0
A=1 0 -a1
0 1 -a2
Hinweis: Die erste Spalte von [mm] A^3 [/mm] legt eine Vermutung für [mm] \mu [/mm] nahe. |
Das Minimalpolynom ist doch f(A)=0 und das Minimalpolynom teil das charakteristische Polynom, deswegen habe ich mir überlegt einfach das charakteristische Polynom zu bestimmen, aber da bekomme ich irgendwie nur a0 raus, habe ich mich verrechnet? Außerdem verstehe ich nicht, wofür man [mm] A^3 [/mm] braucht und was die erste Spalte damit zu tun hat. [mm] A^3 [/mm] habe ich berechnet, als erste Spalte bekomme ich:
-a0
-a1
-a2
und was soll mir das jetzt sagen? Das Minimalpolynom muss ja mindestens grad 3 haben oder?
Danke für eure Antworten
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:28 Fr 14.05.2010 | | Autor: | alina00 |
Ich habe bemerkt, dass ich mich beim charakteristischen Polynom verrechnet habe, bekomme jetzt [mm] -a2*s^2+s^3+a0-s*a1
[/mm]
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Hallo!
> Bestimmen Sie das Minimalpolynom [mm]\mu[/mm] der Matrix
> 0 0 -a0
> A=1 0 -a1
> 0 1 -a2
>
> Hinweis: Die erste Spalte von [mm]A^3[/mm] legt eine Vermutung für
> [mm]\mu[/mm] nahe.
> Das Minimalpolynom ist doch f(A)=0 und das Minimalpolynom
> teil das charakteristische Polynom, deswegen habe ich mir
> überlegt einfach das charakteristische Polynom zu
> bestimmen, aber da bekomme ich irgendwie nur a0 raus, habe
> ich mich verrechnet?
Ja. Das charakteristische Polynom einer 3x3-Matrix muss ein Polynom vom Grad 3 sein.
> Außerdem verstehe ich nicht, wofür
> man [mm]A^3[/mm] braucht und was die erste Spalte damit zu tun hat.
> [mm]A^3[/mm] habe ich berechnet, als erste Spalte bekomme ich:
> -a0
> -a1
> -a2
Das ist richtig.
> und was soll mir das jetzt sagen?
Tja - ehrlich gesagt finde ich den Hinweis auch etwas seltsam.
Um die erste Spalte von [mm] A^{3} [/mm] zu berechnen, hast du ja sicher [mm] A^{2} [/mm] berechnet, dessen erste Spalte hat die Form [mm] \vektor{0\\0\\1}.
[/mm]
Die erste Spalte von A hat die Form [mm] \vektor{0\\1\\0}.
[/mm]
Die erste Spalte von E hat die Form [mm] \vektor{1\\0\\0}. [/mm] (Einheitsmatrix = E)
Wenn wir nun schonmal die ersten Spalten von [mm] A^{3},A^{2},A [/mm] und E kennen, können wir versuchen, sie so linear zu kombinieren, dass die erste Spalte eine Nullspalte wird. Wir stellen fest: Die ersten drei Spalten der Matrizen sind linear unabhängig. Das bedeutet, dass wir allein mit [mm] A^{2},A [/mm] und E NICHT die Nullmatrix erzeugen können, außer wir nehmen als Minimalpolynom das Nullpolynom (was aber nicht zugelassen ist).
Wir brauchen also wirklich [mm] A^{3},A^{2},A [/mm] und E, und du musst nun versuchen, unter Kenntnis der ersten Spalten eine Nullspalte durch Linearkombination von [mm] A^{3},A^{2},A [/mm] und E zu erzeugen.
Nimm dazu zunächst
[mm] A^{3}.
[/mm]
Welche Vielfachen von [mm] A^{2},A [/mm] und E musst du nun addieren, damit die erste Spalte eine Nullspalte wird?
> Das Minimalpolynom muss
> ja mindestens grad 3 haben oder?
Nein. Da das Minimalpolynom einer Matrix das charakteristische Polynom teilt, ist der Grad des Minimalpolynoms höchstens 3.
Grüße,
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:53 Fr 14.05.2010 | | Autor: | alina00 |
Danke für die schnelle Anwort, aber ich verstehe nicht so ganz was du meinst mit nimm zuerst [mm] A^3 [/mm] , versuch aus [mm] A^2,A [/mm] uns E null zu erzeugen, wieso soll ich versuchen ohne [mm] A^3 [/mm] die Null zu erzeugen, es muss doch mit allen zusammen Null ergeben oder wie??
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:55 Fr 14.05.2010 | | Autor: | alina00 |
irgendwie verstehe ich nicht, wie das gehen soll. Sind meine Vorfaktoren, im Polynom Vektoren oder Skalare?? Könntest du mir vielleicht ein Beispiel geben wie du das meinst??
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:59 Fr 14.05.2010 | | Autor: | alina00 |
also ich kann doch [mm] A^3=-s*A^2-t*A-E [/mm] schreiben und dann versuchen s und t zu bestimmen oder? Aber das wird doch eine riesige Rechnung.
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Hallo,
> Danke für die schnelle Anwort, aber ich verstehe nicht so
> ganz was du meinst mit nimm zuerst [mm]A^3[/mm] , versuch aus [mm]A^2,A[/mm]
> uns E null zu erzeugen, wieso soll ich versuchen ohne [mm]A^3[/mm]
> die Null zu erzeugen, es muss doch mit allen zusammen Null
> ergeben oder wie??
Das habe ich nicht geschrieben.
Die Vorfaktoren der Matrizen sind Skalare, also Elemente des Körpers.
Wir wollen:
$0 = [mm] A^{3} [/mm] + [mm] s*A^{2} [/mm] + t*A + u*E$
(wobei [mm] s,t,u\in [/mm] K).
vereinfachen wir jetzt das Problem und betrachten, wie im Hinweis angegeben, nur die erste Spalte jeder Matrix, kommen wir zu der Gleichung:
$0 = [mm] \vektor{-a_0\\-a_1\\-a_2} [/mm] + [mm] s*\vektor{0\\0\\1} [/mm] + [mm] t*\vektor{0\\1\\0} [/mm] + [mm] u*\vektor{1\\0\\0}$.
[/mm]
Wie müssen also s,t,u gewählt werden (Hinweis: Es kommt natürlich dasselbe raus wie bei dem charakteristischen Polynom...)
Grüße,
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:33 So 16.05.2010 | | Autor: | alina00 |
Achso, jetzt habe ich es verstanden, vielen Dank
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