Minimalpolynom < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo
Wenn ich ein Minimalpolynom habe und dazu eine MAtrix erstellen will kenne ich nur die Möglichkeit eine Matrix zu erstellen, die sich aus Jordan Kästchen zusammen setzt.
Dafür muss das minpol allerdings in Linear Faktoren zerfallen.
Meine Frage:
Gibt es eine andere Möglichkeit Matrizen zu gegebenen min Polynomen zu erstellen.
Und müssen die Polynome dazu immer in linear Faktoren zerfallen?
DAnke
lg Imke
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:33 Fr 13.10.2006 | | Autor: | ron |
Hallo Imke,
der beschriebene Weg ist das Standardverfahren. Jedesmal wird benutzt, dass nach dem Hauptsatz der Algebra jedes Polynom über [mm] \IC [/mm] in Linearfaktoren zerfällt. Aus dem Satz von Cayley-Hamilton folgt eine wichtige Beziehung von Minimalpolynome [mm] M_F [/mm] und charakteristischen Polynome [mm] P_F [/mm] eines Endomorphismuses F [mm] \in [/mm] End(V) V ein n-dim. [mm] \IK-Vektorraum:
[/mm]
[mm] M_F [/mm] teilt [mm] P_F [/mm]
außerdem gilt noch: [mm] P_F [/mm] teilt [mm] M^{n}_{F}
[/mm]
Jetzt kann ich allerdings zunächst nur den Tipp geben, wenn [mm] \lamda_i [/mm] mit i= 1,...,n alle verschieden und [mm] M_F [/mm] = [mm] (t-\lambda_1)*.....*(t-\lambda_n) [/mm] dann sind alle [mm] \lambda_i [/mm] Eigenwerte von F und dim Eig(F, [mm] \lambda_i) [/mm] = 1 [mm] \forall [/mm] i
Also bekommt man eine Basis von Eigenvektoren bezüglich derer die Matrix von F eine Diagonalmatrix ist mit [mm] \lambda_i [/mm] in der Hauptdiagonalen
Wenn die Vielfachheit der Eigenwerte größer oder gleich 1 ist, dann existiert eine direkte Zerlegung von V im Eigenräume bzw. Haupträume der Art V = [mm] V_1 \oplus [/mm] .... [mm] \oplus V_k
[/mm]
und es gilt: F = [mm] F_D [/mm] + [mm] F_N
[/mm]
1) [mm] F_D [/mm] Diagonalmatrix
2) [mm] F_N [/mm] nilpotent
3) [mm] F_D \circ F_N [/mm] = [mm] F_N \circ F_D
[/mm]
Das führt allerdings oft auf die Jordannormalform hin, die ja bereits in der Frage beschrieben worden ist.
Das "Bestimmen" der Matrix A von F [mm] \in [/mm] End(V) ist meist nur für sehr spezielle Abbildungen möglich.
Sorry, dass ich nicht mit einem Bsp direkt helfen konnte, aber vielleicht kommst auch so etwas weiter bzw. ein anderer Autor greift mir unter die Arme!!
Gruß
Ron
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 02:57 Mi 18.10.2006 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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