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Minimalpolynom: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:53 Mo 17.04.2006
Autor: Imkeje

Aufgabe
Bestimme das minimalpolynom von i in  [mm] \IQ(\wurzel[3]{2})[x]? [/mm]

Also ich würde mal sagen, dass Minimalpoylom ist x²+1, aber wie beweise ich das?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Minimalpolynom: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:28 Di 18.04.2006
Autor: andreas


> Bestimme das minimalpolynom von i in  
> [mm]\IQ(\wurzel[3]{2})[x]?[/mm]
>  
> Also ich würde mal sagen, dass Minimalpoylom ist x²+1, aber
> wie beweise ich das?

das minimalpolynom ist tatsächlich [mm] $X^2 [/mm] + 1$, da dies ein normiertes polymon mit nulstelle $i$ ist. wäre dies nicht das minimalpolynom, so wäre das minimalpolynom ein teiler dieses polynoms, hier also ein polynom ersten grades. dann wäre aber $i [mm] \in \mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})$, [/mm] dies ist aber nicht möglich, da [mm] $\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2}) \subset \mathbb{R}$ [/mm] und $i [mm] \not\in \mathbb{R}$. [/mm]

grüße
andreas

Bezug
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