Minimales Flächenmaß Dreieck < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:33 So 22.01.2006 | | Autor: | Blacky |
| Aufgabe | f: R [mm] \to [/mm] R, x [mm] \mapsto e^x+1.
[/mm]
P = (u/f(u)) sei ein Punkt des Graphen von f. Die Tangente in P, die Gerade mit der Gleichung x=u und die x-Achse begrenzen ein Dreieck.
Wie ist u zu wählen, damit das Flächenmaß des Dreiecks möglichst klein ist? |
Gutentag!
Um die Aufgabe zu lösen brauche ich ja eine Zielfunktion deren absoluten Tiefpunkt ich dann berechnen kann. Die Funktion müsste glaube ich etwa so aussehen: [mm] \bruch{1}{2} *(u-(t(x)=0))*f(u) [/mm] t soll dabei die Tangentenfunktion sein. Die Steigung der Tangente habe ich schon per m=f'(u) ausgerechnet. Jetzt habe ich jedoch eine Denkblockade und komme einfach nicht drauf wie ich den y-Achsenabschnitt der Tangente herausbekomme, so dass ich danach die Tangentenfunktion gleich 0 setzen kann um meine Zielfunktion bestimmen zu können...
Ist das überhaupt der richtige Weg? Wie krieg ich den y-Achsenabschnitt heraus, t(0) kenn ich ja nicht?! Wäre nett wenn mir jemand helfen könnte!
|
|
| |
|
Hi, Blacky,
> f: R [mm]\to[/mm] R, x [mm]\mapsto e^x+1.[/mm]
> P = (u/f(u)) sei ein Punkt
> des Graphen von f. Die Tangente in P, die Gerade mit der
> Gleichung x=u und die x-Achse begrenzen ein Dreieck.
> Wie ist u zu wählen, damit das Flächenmaß des Dreiecks
> möglichst klein ist?
> Gutentag!
> Um die Aufgabe zu lösen brauche ich ja eine Zielfunktion
> deren absoluten Tiefpunkt ich dann berechnen kann. Die
> Funktion müsste glaube ich etwa so aussehen: [mm]\bruch{1}{2} *(u-(t(x)=0))*f(u)[/mm]
wobei Du mit "t(x)=0" die Nullstelle der Tangente meinst, richtig?
> t soll dabei die Tangentenfunktion sein. Die Steigung der
> Tangente habe ich schon per m=f'(u) ausgerechnet. Jetzt
> habe ich jedoch eine Denkblockade und komme einfach nicht
> drauf wie ich den y-Achsenabschnitt der Tangente
> herausbekomme, so dass ich danach die Tangentenfunktion
> gleich 0 setzen kann um meine Zielfunktion bestimmen zu
> können...
> Ist das überhaupt der richtige Weg? Wie krieg ich den
> y-Achsenabschnitt heraus, t(0) kenn ich ja nicht?! Wäre
> nett wenn mir jemand helfen könnte!
Also: f'(x) = [mm] e^{x}; [/mm] daher: [mm] m_{t}=e^{u}.
[/mm]
Mit P(u; [mm] e^{u}+1) [/mm] kriegst Du aus der Formel y = [mm] m*(x-x{o})+y_{o} [/mm] die Tangentengleichung:
t: y = [mm] e^{u}*(x-u) [/mm] + [mm] e^{u}+1
[/mm]
oder:
t: y= [mm] e^{u}*x [/mm] - [mm] u*e^{u} [/mm] + [mm] e^{u} [/mm] + 1.
Die Nullstelle von t ist dann: x = u - 1 - [mm] e^{-u} [/mm]
Kommst Du nun alleine weiter?
mfG!
Zwerglein
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:42 So 22.01.2006 | | Autor: | Blacky |
juchhe, juchheisa heisa he :)
Vielen Dank!
So bin ich weiter gekommen und habe nun raus, dass das Flächenmaß für u=0 minimal wird und somit die größe 2 hat. :) Danke q:D
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:12 Mo 23.01.2006 | | Autor: | Blacky |
| Aufgabe | f: R [mm] \to [/mm] R, x [mm] \mapsto e^x+1
[/mm]
P = (u/f(u)) sei ein Punkt des Graphen von f. Wie ist u zu wählen, damit das Flächenmaß des Dreiecks, das von der Tangente und der Normalen in P und der x-Achse begrenzt ist, möglichst klein ist? |
Halloo. Schon wieder ein Problem :(
Habe die Normalengleichung bestimmt und folgendes herausbekommen:
[mm]n: R \to R, x \mapsto - \bruch{1}{e^u}*x+\bruch{1}{e^u}*u+e^u+1[/mm]
Als Nullstelle der Normalen habe ich heraus: [mm]x=u+e^{2u}+e^u[/mm]
Nun habe ich mir die Zielfunktion wie folgt berechnet:
[mm]\bruch{1}{2}*((u+e^{2u}+e^u)-(u-1-e^{-u}))*(e^u+1)[/mm] (vgl. 1 Aufgabe)
Diese Funktion habe ich nun in mein Rechenprogramm eingegeben und muss entsetzt feststellen, dass es keine lokalen Extrempunkte gibt. Aber vlt. ist das gar nicht schlimm?! Dann würde die Lösung lauten, dass wenn u gegen minus unendlich geht, das Flächenstück minimal wird, und zwar 1/2. Das wäre nämlich der Grenzwert der Zielfunktion?! Kann das sein?
|
|
|
| |
|
Hallo!
Deine gefundene Funktion hat ein Minimum bei u=-0.29566. Allerdings hab ich nicht überprüft, ob die Funktion überhaupt die richtige ist. Vielleicht liegt's am Programm?
Viel Spaß noch,
Roland.
|
|
|
|
