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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:36 Mo 27.10.2008 | | Autor: | nina1 |
| Aufgabe | Bestimmen Sie den maximalen Definitionsbereich und den minimalen Wertebereich zu den folgenden Funktionsvorschriften:
-> g(x)= [mm] \bruch{1}{x} [/mm] + [mm] \bruch{1}{1-x}
[/mm]
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Hallo,
Für D habe ich D=R \ [mm] \{0,1\}
[/mm]
Das Problem ist jetzt W. Denn eigentlich sollte man da ja die Umkehrfunktion bilden oder? Aber daran scheitere ich leider :-(
Wenn X= 0 und x= 1 ausgeschlossen sind, kann ja schonmal y nicht 1 oder 0 sein.
Aber ist dann W= ]1, [mm] +\infty[ [/mm] ?
Ich komme da nicht weiter und hoffe, dass mir hier geholfen wird.
Danke im Voraus und Grüße
Nina
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:01 Mo 27.10.2008 | | Autor: | M.Rex |
Hallo Nina
> Bestimmen Sie den maximalen Definitionsbereich und den
> minimalen Wertebereich zu den folgenden
> Funktionsvorschriften:
>
> -> g(x)= [mm]\bruch{1}{x}[/mm] + [mm]\bruch{1}{1-x}[/mm]
>
> Hallo,
>
> Für D habe ich D=R \ [mm]\{0,1\}[/mm]
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
>
> Das Problem ist jetzt W. Denn eigentlich sollte man da ja
> die Umkehrfunktion bilden oder? Aber daran scheitere ich
> leider :-(
>
> Wenn X= 0 und x= 1 ausgeschlossen sind, kann ja schonmal y
> nicht 1 oder 0 sein.
>
> Aber ist dann W= ]1, [mm]+\infty[[/mm] ?
>
> Ich komme da nicht weiter und hoffe, dass mir hier geholfen
> wird.
Mach doch mal eine Funktionsuntersuchung auf das Grenzwertverhalten im Unendlichen und an den Definitionslücken.
Also:
Grenzwertverhalten:
[mm] \limes_{x\rightarrow\pm\infty}f(x)=?
[/mm]
[mm] \limes_{x\rightarrow0_{-}}f(x)=\limes_{x\rightarrow0_{-}}\left[\bruch{1}{x}+\bruch{1}{x-1}\right]=\limes_{n\rightarrow\infty}\left[\bruch{1}{-\bruch{1}{n}}+\bruch{1}{-\bruch{1}{n}-1}\right]=?
[/mm]
[mm] \limes_{x\rightarrow0_{+}}f(x)=\limes_{x\rightarrow0_{+}}\left[\bruch{1}{x}+\bruch{1}{x-1}\right]=\limes_{n\rightarrow\infty}\left[\bruch{1}{\bruch{1}{n}}+\bruch{1}{\bruch{1}{n}-1}\right]=?
[/mm]
Und
[mm] \limes_{x\rightarrow1_{-}}f(x)=\limes_{x\rightarrow1_{-}}\left[\bruch{1}{x}+\bruch{1}{x-1}\right]=\limes_{n\rightarrow\infty}\left[\bruch{1}{1-\bruch{1}{n}}+\bruch{1}{(1-\bruch{1}{n})-1}\right]=?
[/mm]
[mm] \limes_{x\rightarrow1_{+}}f(x)=\limes_{x\rightarrow1_{+}}\left[\bruch{1}{x}+\bruch{1}{x-1}\right]=\limes_{n\rightarrow\infty}\left[\bruch{1}{1+\bruch{1}{n}}+\bruch{1}{(1+\bruch{1}{n})-1}\right]=?
[/mm]
Hast du jetzt y-Werte von [mm] -\infty [/mm] bis [mm] \infty [/mm] ist [mm] W=\IR, [/mm] ansonsten müsstest du noch schauen, ob es absolute Hoch- oder Tiefpunkte gibt.
Ein Beispiel für eine solche Funktion ist f(x)=x² Hier ist der Scheitel S(0/0) ein absoluter Tiefpunkt, also ist [mm] W_{f(x)=x²}=[0;\infty[
[/mm]
Dann siehst du, welche Werte y annehmen kann.
>
> Danke im Voraus und Grüße
>
>
> Nina
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:26 Mo 27.10.2008 | | Autor: | nina1 |
Hallo,
das mit dem Grenzwert ist ein guter Tipp danke. Jedoch verstehe ich nicht ganz wie man den dann berechnet.
also kannst du mir vielleicht erklären wie man z.B. auf [mm] \bruch{1}{\bruch{1}{n}} [/mm] kommt?
Das ist doch dann die Ableitung die ich dann brauche, um dann 0 und 1 einzusetzen oder?
Nur was setze ich dann für eine Zahl ein für [mm] \infty?
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:59 Mo 27.10.2008 | | Autor: | M.Rex |
> Hallo,
>
> das mit dem Grenzwert ist ein guter Tipp danke. Jedoch
> verstehe ich nicht ganz wie man den dann berechnet.
>
> also kannst du mir vielleicht erklären wie man z.B. auf
> [mm]\bruch{1}{\bruch{1}{n}}[/mm] kommt?
[mm] \bruch{1}{n} [/mm] ist eine Folge, die für [mm] n\to\infty [/mm] sich von oben an die Null annähert, also kannst du mit dieser Folge den Grenzwert von f(x) bestimmen, wenn [mm] x\to0_{+}
[/mm]
Mit [mm] 1-\bruch{1}{n} [/mm] habe ich mit eine Folge erschaffen, die sich von unten an die 1 annähert.
>
> Das ist doch dann die Ableitung die ich dann brauche, um
> dann 0 und 1 einzusetzen oder?
Die Ableitung hat damit erstmal nichts zu tun, es sei denn, du willst den Grenzwert nach l#Hospital bestimmen.
>
> Nur was setze ich dann für eine Zahl ein für [mm]\infty?[/mm]
>
Gar nichts. Versuche die entstehenden Terme so umzuformen, dass du dn Grenzwert bestimmen kannst, also auf "Formen", deren Grenzwert du kennst.
Als Beispiele:
[mm] \limes_{n\rightarrow\pm\infty}\bruch{1}{n}=0 [/mm]
[mm] \limes_{n\rightarrow\pm\infty}n=\pm\infty [/mm] (auch das ist ein Grenzwert)
[mm] \vdots
[/mm]
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:45 Mo 27.10.2008 | | Autor: | nina1 |
Sorry, aber ich verstehs immer noch nicht so ganz ehrlichgesagt.
du hast jetzt die Formel
[mm] \bruch{1}{x} [/mm] + [mm] \bruch{1}{x-1} [/mm] aber unter dem Bruch steht doch 1-x, wie hast du das dann umgestellt?
und dann einfach 1/n für x eingesetzt?
ist dann [mm] \bruch{1}{\bruch{1}{n}} [/mm] + [mm] \bruch{1}{\bruch{1}{n}-1} [/mm] = n + (n-1) = 2n -1?
Was mich glaube ich verwirrt ist, dass es 2 Brüche sind in der Funktion.
Kann man die nicht zusammenfassen zu [mm] g(x)=\bruch{x+1}{x(x-1)} [/mm] und dann irgendwas mit dem Grenzwert machen?
Oder gibts nicht doch noch irgendeine Möglichkeit mit der Umkehrfunktion? ^^
Viele Grüße.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:21 Mo 27.10.2008 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Sorry, aber ich verstehs immer noch nicht so ganz
> ehrlichgesagt.
>
> du hast jetzt die Formel
>
> [mm]\bruch{1}{x}[/mm] + [mm]\bruch{1}{x-1}[/mm] aber unter dem Bruch steht
> doch 1-x, wie hast du das dann umgestellt?
Sorry, das ist ein Fehler.
>
> und dann einfach 1/n für x eingesetzt?
>
> ist dann [mm]\bruch{1}{\bruch{1}{n}}[/mm] +
> [mm]\bruch{1}{\bruch{1}{n}-1}[/mm] = n + (n-1) = 2n -1?
>
>
> Was mich glaube ich verwirrt ist, dass es 2 Brüche sind in
> der Funktion.
>
> Kann man die nicht zusammenfassen zu
> [mm]g(x)=\bruch{x+1}{x(x-1)}[/mm] und dann irgendwas mit dem
> Grenzwert machen?
Du kannst natürlich auch die Funktion so zusammenfassen.
[mm] \bruch{1}{x}+\bruch{1}{x-1}
[/mm]
[mm] =\bruch{(x-1)}{x(x-1)}+\bruch{x}{x(x-1)}=\bruch{2x-1}{x(x-1)}
[/mm]
Und dann nimm die halt Folgen her, die gegen die Def-Lücken streben, setze die für x in die Funktion ein, und bestimme dann den Grenzwerte.
Also für die Annäherung an 0: [mm] 0+\bruch{1}{n} [/mm] (von oben) und [mm] 0-\bruch{1}{n} [/mm] (von Unten)
und dementsprechend als Folgen, die gegen 1 Konvergieren: [mm] 1+\bruch{1}{n} [/mm] (von oben) und [mm] 1-\bruch{1}{n} [/mm] (von Unten)
(jeweils für [mm] n\to\infty. [/mm] )
>
> Oder gibts nicht doch noch irgendeine Möglichkeit mit der
> Umkehrfunktion? ^^
Man kann versuchen, die Umkehrfunktion - sofern überhaupt möglich - zu bestimmen, und davon dann den Def-Bereich bestimmen, der dann den Wertebreich der Ausgangsfunktion entspricht.
Das geht aber ohne weiteres nur bei Funktionen, die auf ihrem gesamten Def-Bereich bijektiv sind (also streng monotonen Funktionen)
Und das hast du hier nicht gegeben, es sei denn, du betrachtest die drei Teilintervalle [mm] ]-\infty;0[ [/mm] ]0;1[ und [mm] ]1;\infty[
[/mm]
>
>
> Viele Grüße.
Marius
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