Minimal- und charakterist. Polynom < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Ich habe diese Frage in keinem weiteren Forum gestellt.
ich habe hier eine aufgabe, bei der mir noch so absolut der ansatz fehlt, wäre schön, wenn jemand mir helfen könnte!
Sei V ein endlich-dimensionaler K-Vektorraum mit einem Endomorphismus [mm]f: V \rightarrow V[/mm] und [mm]U \subset V[/mm] ein f-invarianter Unterraum. Zeige:
a.) f induziert einen Endomorphismus
[mm]\bar{f}: V/U \rightarrow V/U[/mm]
b.) Es gilt [mm]p_\bar{f}[/mm] teilt [mm]p_{f}[/mm]für die
Minimalpolynome von [mm]\bar{f}[/mm] und f
c.) Es gilt [mm]x_{f \right_|_{U}}[/mm] teilt [mm]x_{f}[/mm] für die
charakteristischen Polynome von f und von [mm]f\right_{|{U}}[/mm] (der
Einschränkung von f auf U)
danke
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:22 Mi 30.06.2004 | | Autor: | Julius |
Liebe Steffi!
c) habe ich vorhin hier! etwas heuristisch vorgemacht, das sollte dir aber eine Anregung geben es sauber zu Ende zu führen.
Zu a): Wir definieren:
[mm] $\bar{f}(v [/mm] +U) [mm] \stackrel{\mbox{\scriptsize def}}{=} [/mm] f(v) + U$.
Dann ist [mm] $\bar{f}$ [/mm] wohldefiniert, denn im Falle $v + U = v' + U$ gilt: $v'-v [mm] \in [/mm] U$ und daher wegen der $f$-Invarianz von $U$:
$f(v') - f(v) = f(v'-v) [mm] \in [/mm] U$,
woraus $f(v') - f(v) + U = 0 + U$ folgt und somit:
[mm] $\bar{f}(v [/mm] + U) = f(v) + U = (f(v) + U) + (f(v') - f(v) + U) = f(v') + U = [mm] \bar{f}(v' [/mm] + U)$.
Da $f$ ein Epimorphismus ist, gilt dies auch kanonisch für [mm] $\bar{f}$.
[/mm]
Zu b) hast du vielleicht selber mal eine Idee?
Liebe Grüße
Julius
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:40 Do 01.07.2004 | | Autor: | Julius |
Hallo!
Zur b) noch mal ein Tipp: Wir hatten ja schon gesehen, dass man eine Basis von $V$ finden kann, so dass $f$ die folgende Matrixdarstellung hat:
(*) $M = [mm] \begin{pmatrix}A & B \\ 0 & C \end{pmatrix}$.
[/mm]
Hierbei ist $A$ die Matrixdarstellung von $f|U$. Die $0$en unten kommen daher, dass $U$ als $f$-invariant vorausgesetzt ist.
Ich behaupte nun, dass $C$ die Matrixdarstellung der linearen Abbildung
[mm] $\bar{f}: [/mm] V/U [mm] \to [/mm] V/U$
ist. Wenn du dir das mal sauer aufschreibst, sieht du das auch:
Ist [mm] $(v_1,\ldots,v_k,v_{k+1},\ldots,v_n)$ [/mm] eine Basis von $V$, wobei [mm] $(v_1,\ldots,v_k)$ [/mm] eine Basis von $U$ ist, dann ist $v(_{k+1} + U, [mm] \ldots, v_n [/mm] + U)$ ein Basis von $V/U$, und aus
[mm] $f(v_i) [/mm] = [mm] \sum\limits_{j=1}^n \lambda_j v_j$ [/mm] für [mm] $i=k,\ldots,n+1$
[/mm]
folgt:
[mm] $\bar{f}(v_i [/mm] + U) = [mm] \sum\limits_{j=k+1}^n \lambda_j (v_j [/mm] + U)$.
Daraus folgt aber unmittelbar:
[mm] $MP_{\bar{f}}\ [/mm] |\ [mm] MP_f$,
[/mm]
wie behauptet.
Gut, jetzt habe ich fast alles vorgemacht. Wenn man das jetzt noch schöner und ausführlicher aufschreibt, ist das die Lösung. 
Liebe Grüße
Julis
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Hi,
danke schon mal im voraus für die ganzen Tipps!
Ich habe mir mal das mit b) und c) durch den Kopf gehen lassen und folgendes zu Papier gebracht, was im Anhang zu finden ist und es wär schön, wenn ich ne reaktion zu diesem bekommen könnt.
tschö, steffi.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:49 Sa 03.07.2004 | | Autor: | Julius |
Hallo Steffi!
Die c) ist meines Erachtens richtig, die b) dagegen überhaupt nicht. Dort sieht es ja so aus, als wäre die Matrix unten rechts, also $C$, die Nullmatrix! Aber das ist ja gerade die darstellende Matrix von [mm] $\bar{f}: [/mm] V/U [mm] \to [/mm] V/U$.
Hmmmh... Das müsst ihr noch einmal komplett neu aufschreiben.
Nehmt euch mal diese Lösung zum Vorbild, dann sollte es klar sein. (Der einzige Unterschied ist, dass dort die Null-Untermatrix rechts oben und nicht wie hier links unten steht, aber das macht nichts, die Grundidee bleibt die gleiche.)
Liebe Grüße
Julius
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