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| Aufgabe | In der Umgebung von 10 Kernkraftwerken werden je 100 Personen auf eine bestimmte Krankheit hin untersucht, die im Bundesdurchschnitt bei 1% der Bevölkerung vorkommt. Es wird vereinbart, ein Kraftwerk als auffällig zu bezeichnen, falls unter den 100 Personen mindestens 3 dieses Krankheitsbild zeigen.
a) Wie groß ist die Wahrsch.,dass wenigstens ein Kraftwerk auffällig wird, obwohl die Erkrankungswahrscheinlichkeit in der Umgebung aller 10 Kraftwerke gleich groß wie im Bundesdurchschnitt ist?
b)Wie groß ist die Wahrsch.,dass keines auffällig wird, obwohl die Erkrankngswahrsch. in der Umgebung aller Kraftwerke 2% beträgt? |
Hallo,
ich tu mich immer bei solchen Stochastikaufgaben so schwer, weil ich nie weiß, wie ich hier konkret anfangen soll, das mir gegebene sinnvoll niederzuschreiben. Deshalb wäre es schön, wenn mir jemand Hilfestellung geben könnte.
Das Ereignis, dass ein Kraftwerk auffällig ist bezeichne ich mal mit "A".
Bei der a) habe ich mir überlegt, dass man sich hier am besten die Gegenwahrscheinlichkeit anschaut, also dass gar kein Kraftwerk auffällig wird. Die Erkrankungswahrsch. in der Umgebung der 10 Kraftwerke soll gleich 1% sein. Aber ich weiß nicht, wie ich dies Informationen zusammenbauen soll zu einem sinnvollen Lösungsansatz.
Bei der b) ist es doch genau die Gegenwahrscheinlichkeit zur a), oder? Aber ich versteh bei beiden Malen nicht, wie ich dies "obwohl"-Angaben mit einbeziehen soll.
Man muss doch hier einen geeigneten Wahrsch.raum [mm] (\Omega,\mathcal{A},P) [/mm] finden,oder? P müsste hier die Gleichverteilung sein, und die [mm] \Sigma-Algebra \mathcal{A} [/mm] gleich der Potenzmenge von [mm] \Omega. [/mm] Liege ich hier richtig?? Aber wie bestimme ich [mm] \Omega?
[/mm]
Kann mir bitte jamnd helfen? Vielen Dank im Voraus.
Gruß, Milka
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Hallo Milka!
Auf den ersten Blick erscheinen mir die Aufgaben nicht sehr schwer, ich möchte es eher "durchwachsen" bezeichnen. 
zu a)
Hier geht es darum, zu er mitteln, wie hoch die Wahrscheinlichkeit ist, daß mindestens eines von 10 Kraftwerken auffällig ist, sprich, daß in seiner Umgebung mindestens 3 Leute entsprechende Symptome zeigen.
Hier würde ich zunächst berechnen, wie hoch die Wahrscheinlichkeit ist, daß mindestens 3 Personen dem Krankheitsbild entsprechen, wenn die Wahrscheinlichkeit dafür, daß jemand dieses Krankheitsbild besitzt bei 1% liegt. Das sollte mittels Binomialverteilung (oder entsprechender Tabellenwerke) zu lösen sein.
Hierbei liegt die Wahrscheinlichkeit, daß mindestens 3 Leute von 100 erkrankt sind bei:
[mm]P(x>=3)=1-[P(x=0)+P(x=1)+P(x=2)][/mm]
Das heisst, es ist das Gegenereignis dazu gemeint, daß keiner oder einer oder zwei Leute erkrankt sind.
Nun könntest du die einzelnen Wahrscheinlichkeiten berechnen mit der Formel für die Binomialverteilung:
[mm] P(x=k)=\vektor{n \\ k}*p^{k}*(1-p)^{n-k}
[/mm]
Für P(x=0) sähe das ganze dann so aus:
[mm][k=0; n=100; p=0,01; (1-p)=0,99][/mm]
[mm] P(x=0)=\vektor{100 \\ 0}*(0,01)^{0}*(0,99)^{100}
[/mm]
Analog dazu für P(x=1):
[mm] P(x=1)=\vektor{100 \\ 1}*(0,01)^{1}*(0,99)^{99}
[/mm]
Und für P(x=2):
[mm] P(x=2)=\vektor{100 \\ 2}*(0,01)^{2}*(0,99)^{98}
[/mm]
Mit diesen Teilwahrscheinlichkeiten kannst du dann die Gesamtwahrscheinlichkeit dafür, daß mindestens 3 Leute erkrnakt sind, wie oben beschrieben berechnen.
Wenn du diese Gesamtwahrscheinlichkeit (ich nenne sie mal [mm] P_{3} [/mm] ) kennst, kannst du damit dann berechnen, wie wahrscheinlich es ist, daß mindestens 1 Kernkraftwerk als auffällig in Erscheinung tritt. Die geht wieder mit der Binomialverteilung.
Es gilt hierbei: [mm]P(x>=1)=1-P(x=0)[/mm]. Das bedeutet, daß das Ereignis, daß mindestens 1 Kraftwerk auffällig ist, genau dem Gegenereignis, daß keines auffällig ist entspricht.
Somit ergibt sich:
[mm][k=0; n=10; p=P_{3}; (1-p)=1-P_{3}][/mm]
[mm] P(x>=1)=1-\vektor{10 \\ 0}*P_{3}^{0}*(1-P_{3})^{10}
[/mm]
(für [mm] P_{3} [/mm] musst du dann den vorher errechneten Wert einsetzen)
zu b)
Lösung erfolgt ähnlich wie bei a) nur ändert sich diesmal die Wahrscheinlichkeit, daß die Krankheit im Umkreis der Kraftwerke auftritt auf 2 %. Deshalb musst du die Wahrscheinlichkeit, daß mindestens 3 Leute Krankheitssymptome zeigen erneut berechnen. Danach dann wieder die Wahrscheinlichkeit in die Formel für die Kraftwerke einsetzten. Aber Achtung: Diesmal sollt du die Wahrscheinlichkeit ermitteln, daß keines der 10 Kraftwerke auffällig wird (bei a solltest du ermitteln mit welcher Wahrscheinlichkeit mindestens 1 Kraftwerk auffällig wird).
Die Schritte sind also die selben wie bei a) nur mit anderen Werten.
Hoffe ich habs verständlich erklärt. Viel Erfolgt beim ermitteln der Lösung.
Gruß,
Tommy
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Hallo Tommy,
erstmal möchte ich mich bei dir bedanken für deine echt sehr hilfreichen Tipps. Ich hab gar nicht damit gerechnet, so eine ausführliche Antwort zu bekommen. 
Bei der Aufgabe muss ich nun auch noch den Wahrscheinlichkeitsraum [mm] (\Omega, \mathcal{A}, [/mm] P) angeben. Hier habe ich mir gedacht: Die [mm] \sigma-Algebra \mathcal{A} [/mm] ist hier: [mm] \mathcal{A}= \mathcal{P}(\Omega), [/mm] also die Potenzmenge über [mm] \Omega, [/mm] und das Wahrscheinlichkeitsmaß P ist hier die Gleichverteilung über [mm] \Omega, [/mm] richtig? Jetzt hab ich ein Problem den Ergebnisraum [mm] \Omega [/mm] anzugeben. [mm] \Omega [/mm] ist doch gleich [mm] \Omega= \vektor{10 \\ n}, [/mm] oder?? 10 ist die Anzahl der Kraftwerke und der Binomialkoeff.gibt mir die Möglichkeiten an, wieviele Kraftwerke auffällig werden können, wobei 0 [mm] \le [/mm] n [mm] \le [/mm] 10 ist. Stimmt das so?
Vielen Dank! Milka
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:34 Do 16.11.2006 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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