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| Aufgabe | (X, [mm] \mathcal{X}) [/mm] kompakt, hausdorffsch und topologischer Raum
f: X [mm] \to \IR [/mm] stetige Funktion. |
Ich habe mal eine allgemeine Frage.
Undzwar was bedeutet denn
f(x)= min f(X)
vertsehe nicht ganz was das zu bedeuten hat?
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> (X, [mm]\mathcal{X})[/mm] kompakt, hausdorffsch und topologischer
> Raum
> f: X [mm]\to \IR[/mm] stetige Funktion.
> Ich habe mal eine allgemeine Frage.
> Und zwar was bedeutet denn
>
> f(x)= min f(X)
>
> verstehe nicht ganz was das zu bedeuten hat?
Das klein geschriebene x steht für ein Element von X,
dessen Funktionswert f(x) dem kleinstmöglichen
Funktionswert entspricht, den f für Elemente von X
überhaupt annehmen kann.
Mit anderen Worten: x ist eine Stelle, an welcher
f das (globale) Minimum bezüglich der Definitions-
menge X annimmt.
Um überhaupt von Minima sprechen zu können,
müsste allerdings noch eine Ordnungsrelation
vorliegen, die du noch nicht erwähnt hast.
Edit: sorry, diese Frage nach der Ordnungsrelation
war natürlich etwas doof - ich hatte ganz übersehen,
dass die Funktion f reellwertig sein soll ... 
LG, Al-Chw.
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eine Ordnungsrelation habe ich hier nicht angegeben.
Nur dass es x,y [mm] \in [/mm] X gibt, so dass gilt:
f(x) = min f(X) und f(y)= max f(X)
kann ich das mit Supremum und Infinum zeigen. Und dann sagen, dass jede nichtleere Teilmenge, die nach oben/unter beschr. ist ein Sup/ Inf besitzt.
Und kann ich den Satz von Bolzano Weierstraß auch in topologischen Räumen anwenden?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:46 Do 29.11.2012 | | Autor: | fred97 |
> eine Ordnungsrelation habe ich hier nicht angegeben.
Es ist doch f: X $ [mm] \to \IR [/mm] $ eine reellwertige Funktion ! Für [mm] x_1, x_2 \in [/mm] X sind [mm] f(x_1),f(x_2) \in \IR, [/mm] also der Größe nach vergleichbar (im Sinne der üblichen Ordnung auf [mm] \IR)
[/mm]
> Nur dass es x,y [mm]\in[/mm] X gibt, so dass gilt:
>
> f(x) = min f(X) und f(y)= max f(X)
Du sollst also zeigen, dass f auf X Min. und Max. annimmt.
>
> kann ich das mit Supremum und Infinum zeigen. Und dann
> sagen, dass jede nichtleere Teilmenge, die nach oben/unter
> beschr. ist ein Sup/ Inf besitzt.
Wenn man nun im Bilde wäre, was Ihr verwenden dürft....
Hattet Ihr, dass stetige Bilder kompakter Mengen wieder kompakt sind ?
Wenn ja, so ist f(X) eine kompakte Teilmenge von [mm] \IR.
[/mm]
>
> Und kann ich den Satz von Bolzano Weierstraß auch in
> topologischen Räumen anwenden?
Um Gottes Willen nicht.
Dieser Satz ist ein typischer "endlichdimensionaler" Satz:
Ist X ein normierter Raum, so gilt in X der Satz von Bolzano-Weierstraß [mm] \gdw [/mm] dim(X)< [mm] \infty.
[/mm]
FRED
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Hattet Ihr, dass stetige Bilder kompakter Mengen wieder kompakt sind ?
Wenn ja, so ist f(X) eine kompakte Teilmenge von [mm] \IR.
[/mm]
Das hatten wir ja.
Aber wie kann ich hier noch Minimum und Maximum einbeziehen?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:54 Do 29.11.2012 | | Autor: | fred97 |
> Hattet Ihr, dass stetige Bilder kompakter Mengen wieder
> kompakt sind ?
>
> Wenn ja, so ist f(X) eine kompakte Teilmenge von [mm]\IR.[/mm]
>
> Das hatten wir ja.
> Aber wie kann ich hier noch Minimum und Maximum
> einbeziehen?
Mann ! Es ist also f(X) eine kompakte Teilmenge von [mm] \IR. [/mm]
Daher hat f(X) ein Min. und ein Max. In Analysis I besser aufpassen, gell !
FRED
>
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