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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:39 Mo 13.10.2008 | | Autor: | Giorda_N |
| Aufgabe | Ermittle für folgende Teilmenge [mm] M_{i} \subseteq \IR [/mm] = [mm] \{\bruch{1}{n}| n = 1,2,3.... \} [/mm] den Durchschnitt aller offenen Intervalle, die M enthalten, d.h. ermittle
N: = [mm] \bigcap_{(a,b) \supseteq M} [/mm] (a,b) |
Hello...
ich weiss, dass die Lösung N = (0,1] ist, da 0 das Infimum der Menge M ist (es exisitiert kein Minimum) und 1 ist Maximum und auch gleich Supremum.
Nun muss man dass auch noch beweisen, dass N = (0,1] den Durchschnitt aller offenen Intervalle ist. Aber ich hab keine Idee, wie ich es machen könnte.
Kann mir jemand helfen?
Gruss
Ps. Ich habe die Frage auf kein anderes Forum gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:51 Mo 13.10.2008 | | Autor: | fred97 |
> Ermittle für folgende Teilmenge [mm]M_{i} \subseteq \IR[/mm] =
> [mm]\{\bruch{1}{n}| n = 1,2,3.... \}[/mm] den Durchschnitt aller
> offenen Intervalle, die M enthalten, d.h. ermittle
>
> N: = [mm]\bigcap_{(a,b) \supseteq M}[/mm] (a,b)
> Hello...
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> ich weiss, dass die Lösung N = (0,1] ist, da 0 das Infimum
> der Menge M ist (es exisitiert kein Minimum) und 1 ist
> Maximum und auch gleich Supremum.
>
> Nun muss man dass auch noch beweisen, dass N = (0,1] den
> Durchschnitt aller offenen Intervalle ist. Aber ich hab
> keine Idee, wie ich es machen könnte.
> Kann mir jemand helfen?
>
> Gruss
>
> Ps. Ich habe die Frage auf kein anderes Forum gestellt.
1. Nimm ein offenes Intervall (a,b) mit M [mm] \subseteq [/mm] (a,b) Dann gilt:
1 [mm] \in [/mm] (a,b), also b>1
und 1/n [mm] \in [/mm] (a,b) für jedes n [mm] \in \IN, [/mm] also a<1/n fürjedes n, d.h.: a [mm] \le [/mm] 0
2. Ist umgekehrt (a,b) ein offenes Intervall mit a [mm] \le [/mm] 0 und b>1, so ist klar, dass M [mm] \subseteq [/mm] (a,b).
FAZIT: M [mm] \subseteq [/mm] (a,b) [mm] \gdw [/mm] a [mm] \le [/mm] 0 und b>1.
Nun bilde mal den Durchschnitt über all solche Intervalle.
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:28 Mo 13.10.2008 | | Autor: | Giorda_N |
> > Ermittle für folgende Teilmenge [mm]M_{i} \subseteq \IR[/mm] =
> > [mm]\{\bruch{1}{n}| n = 1,2,3.... \}[/mm] den Durchschnitt aller
> > offenen Intervalle, die M enthalten, d.h. ermittle
> >
> > N: = [mm]\bigcap_{(a,b) \supseteq M}[/mm] (a,b)
> > Hello...
> >
> > ich weiss, dass die Lösung N = (0,1] ist, da 0 das Infimum
> > der Menge M ist (es exisitiert kein Minimum) und 1 ist
> > Maximum und auch gleich Supremum.
> >
> > Nun muss man dass auch noch beweisen, dass N = (0,1] den
> > Durchschnitt aller offenen Intervalle ist. Aber ich hab
> > keine Idee, wie ich es machen könnte.
> > Kann mir jemand helfen?
> >
> > Gruss
> >
> > Ps. Ich habe die Frage auf kein anderes Forum gestellt.
>
>
> 1. Nimm ein offenes Intervall (a,b) mit M [mm]\subseteq[/mm] (a,b)
> Dann gilt:
>
> 1 [mm]\in[/mm] (a,b), also b>1
>
> und 1/n [mm]\in[/mm] (a,b) für jedes n [mm]\in \IN,[/mm] also a<1/n fürjedes
> n, d.h.: a [mm]\le[/mm] 0
>
> 2. Ist umgekehrt (a,b) ein offenes Intervall mit a [mm]\le[/mm] 0
> und b>1, so ist klar, dass M [mm]\subseteq[/mm] (a,b).
>
> FAZIT: M [mm]\subseteq[/mm] (a,b) [mm]\gdw[/mm] a [mm]\le[/mm] 0 und b>1.
>
> Nun bilde mal den Durchschnitt über all solche Intervalle.
über welche Intervalle meinst Du jetzt?
>
> FRED
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:18 Mo 13.10.2008 | | Autor: | pelzig |
> > FAZIT: M [mm]\subseteq[/mm] (a,b) [mm]\gdw[/mm] a [mm]\le[/mm] 0 und b>1.
> > Nun bilde mal den Durchschnitt über all solche Intervalle.
> über welche Intervalle meinst Du jetzt?
Er meint den Durchschnitt über alle offenen Intervalle $(a,b)$ mit [mm] $a\le [/mm] 0$ und $b>1$.
Gruß, Robert
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:51 Mo 13.10.2008 | | Autor: | Giorda_N |
also ich müsste beweisen, dass
1) M [mm] \subseteq [/mm] N, dass haben wir ja gemacht
und
2) N [mm] \subseteq [/mm] [infM, maxM] ist....aber wie???
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:17 Di 14.10.2008 | | Autor: | fred97 |
> also ich müsste beweisen, dass
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> 1) M [mm]\subseteq[/mm] N, dass haben wir ja gemacht
>
> und
>
> 2) N [mm]\subseteq[/mm] [infM, maxM] ist....aber wie???
Wir hatten:
N: = $ [mm] \bigcap_{(a,b) \supseteq M} [/mm] $ (a,b)
ich habe Dir gezeigt: N = $ [mm] \bigcap_{a \le 0, b>1} [/mm] $ (a,b)
Nimm ein x [mm] \in [/mm] N. Dann: x [mm] \in [/mm] (0, 1+1/n) für jedes n in [mm] \IN, [/mm] d.h: x [mm] \in [/mm] [0,1]
Hilft das?
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:47 Do 16.10.2008 | | Autor: | Giorda_N |
jup vielen dank
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