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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:34 Di 12.06.2012 | | Autor: | Infty |
Hi!
Ich versuche gerade den folgenden Beweis zu verstehen und bräuchte eure Hilfe da ich nicht sicher bin ob ich es richtig verstanden habe:
Sei $(X,d)$ ein metrischer Raum, $M [mm] \subset [/mm] X. Dann gilt
[mm] $\overline{M}=\{x \in X\; \exists(x_n){n\in \mathbb{N}} \subset M : x_n \rightarrow x\}
[/mm]
Die bedeutet ja ungefähr:
Der Abschluss der Menge M besteht aus allen [mm] $x\in [/mm] X$ für welche eine Folge in M existiert deren Grenzwert x ist.
Beweis:
[mm] Sei $\tilde{M}:=\{x \in X\; \exists(x_n){n\in \mathbb{N}} \subset M : x_n \rightarrow x\}. [/mm] Zu zeigen ist dass [mm] $\tilde{M}=\overline{M}$
[/mm]
[mm] x\in \tilde{M} \Leftrightarrow \forall \epsilon [/mm] >0 [mm] \; \exists x_{n_\epsilon}\in [/mm] M [mm] \; [/mm] : [mm] \; x_{n_\epsilon}\in B_{\epsilon}(x)
[/mm]
Wenn also $x [mm] \in \tilde{M}$ [/mm] so gilt für alle [mm] $\epsilon [/mm] > 0$ dass mindestens ein Glied der Folge in der "Kugel" mit Radius [mm] $\epsilon$ [/mm] um x liegt
[mm] $\Leftrightarrow [/mm] $x [mm] \notin \mathop{(X\setminus M)}^{\circ}$
[/mm]
Es folgt hieraus dass x nicht im Inneren von [mm] $(X\setminus [/mm] M)$ liegen kann. Also nicht im offenen Aussenbereich salopp gesprochen.
[mm] $\Leftrightarrow \in \overline{M}$
[/mm]
Es muss also im Abschluss von M liegen.(Da $X = [mm] \overline{M} \cap \mathop{(X\setminus M)}^{\circ})
[/mm]
Hab ich das richtig verstanden?
Ich habe diese Aufgabenstellung in keinem anderen Forum gepostet.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:37 Mi 13.06.2012 | | Autor: | fred97 |
> Hi!
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> Ich versuche gerade den folgenden Beweis zu verstehen und
> bräuchte eure Hilfe da ich nicht sicher bin ob ich es
> richtig verstanden habe:
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> Sei $(X,d)$ ein metrischer Raum, $M [mm]\subset[/mm] X. Dann gilt
> [mm]$\overline{M}=\{x \in X\; \exists(x_n){n\in \mathbb{N}} \subset M : x_n \rightarrow x\}[/mm]
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> Die bedeutet ja ungefähr:
> Der Abschluss der Menge M besteht aus allen [mm]x\in X[/mm] für
> welche eine Folge in M existiert deren Grenzwert x ist.
>
> Beweis:
> [mm]Sei $\tilde{M}:=\{x \in X\; \exists(x_n){n\in \mathbb{N}} \subset M : x_n \rightarrow x\}.[/mm]
> Zu zeigen ist dass [mm]$\tilde{M}=\overline{M}$[/mm]
>
> [mm]x\in \tilde{M} \Leftrightarrow \forall \epsilon[/mm] >0 [mm]\; \exists x_{n_\epsilon}\in[/mm]
> M [mm]\;[/mm] : [mm]\; x_{n_\epsilon}\in B_{\epsilon}(x)[/mm]
> Wenn also [mm]x \in \tilde{M}[/mm]
> so gilt für alle [mm]\epsilon > 0[/mm] dass mindestens ein Glied
> der Folge in der "Kugel" mit Radius [mm]\epsilon[/mm] um x liegt
>
> [mm]$\Leftrightarrow[/mm] $x [mm]\notin \mathop{(X\setminus M)}^{\circ}$[/mm]
>
> Es folgt hieraus dass x nicht im Inneren von [mm](X\setminus M)[/mm]
> liegen kann. Also nicht im offenen Aussenbereich salopp
> gesprochen.
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> [mm]\Leftrightarrow \in \overline{M}[/mm]
> Es muss also im Abschluss
> von M liegen.(Da $X = [mm]\overline{M} \cap \mathop{(X\setminus M)}^{\circ})[/mm]
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> Hab ich das richtig verstanden?
Ja
FRED
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> Ich habe diese Aufgabenstellung in keinem anderen Forum
> gepostet.
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