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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:43 Mo 25.04.2005 | | Autor: | sachmeth |
Hallöle- brauch dringend eure Hilfe, da ich keinen Plan von dieser Aufgabe hab:
Sei M Teilmenge des R "hoch n" . Dann wird M mit der Standartmetrik d(x,y) := Betrag von x-y (von R hoch n) zum metrischen Raum. Zu zeigen ist ,dass eine Menge U Teilmenge von M genau dann offen ist, bzgl. (M,d) wenn es eine offene Menge W Teilmenge des R "hoch n "gibt mit U= M [mm] \cap [/mm] W
Wie soll ich das denn zeigen??? Wer irgendeine Idee hat,schreibe sie mir doch bitte (mit Erklärung!!)!!
Ein ganz großes Dankeschön!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:56 Di 26.04.2005 | | Autor: | Astrid |
Hallo,
Ich schreibe deine Aufgabe noch einmal mit unserem Formeleditor auf, mit dem du dich am besten auch vertraut machst und ihn das nächste Mal auch nutzt! Denn damit erhöhst du deine Chancen auf eine schnelle Antwort! Eigene Ansätze werden hier auch immer sehr gern gesehen! 
> Sei M Teilmenge des R "hoch n" . Dann wird M mit der
> Standartmetrik d(x,y) := Betrag von x-y (von R
> hoch n) zum metrischen Raum. Zu zeigen ist ,dass eine
> Menge U Teilmenge von M genau dann offen ist, bzgl. (M,d)
> wenn es eine offene Menge W Teilmenge des R "hoch n "gibt
> mit U= M [mm]\cap[/mm] W
Sei $M [mm] \subset \IR^n$ [/mm] und [mm]d(x,y)=|y-x|[/mm] die Standardmetrik, ich nehmen mal an [mm]d(x,y) =\wurzel{ \summe_{i=1}^{n} (y_i - x_i)^2 }[/mm]
Zeige:
$U [mm] \subset [/mm] M$ ist offen bzgl. $d(x,y)$
[mm] $\gdw$
[/mm]
[mm] $\exists [/mm] W [mm] \subset \IR^n$ [/mm] offen so dass $ U = M [mm] \cap [/mm] W$
Du zeigst das wie immer am besten in zwei Schritten:
Schitt 1: [mm] $\Leftarrow$
[/mm]
Zu zeigen: Falls ein $W [mm] \subset \IR^n$, [/mm] $W$ offen, existiert so dass $U=M [mm] \cap [/mm] W$, dann ist U offen.
Was ist denn die Definition von offenen Mengen? Für jedes $x [mm] \in [/mm] U$ existiert ein [mm] $\epsilon [/mm] > 0$ so dass [mm] $B_{\epsilon}(x) \subset [/mm] U$ wobei [mm] $B_{\epsilon}(x)$ [/mm] die Kugel um $x$ mit Radius [mm] \epsilon [/mm] ist.
Nun ja, du weißt ja, dass $U = M [mm] \cap [/mm] W$ und $W$ ist offen. Versuche jetzt mal, allein darüber nachzudenken! Auch wenn du nicht die Lösung hast, poste doch mal deine Ansätze hier!
Schritt 2: [mm] $\Rightarrow$
[/mm]
Zu zeigen: Falls $U [mm] \subset [/mm] M$ offen ist, existiert $W [mm] \subset \IR^n$ [/mm] offen mit $U = M [mm] \cap [/mm] W$.
Dieser Schritt ist recht einfach, den versuche doch mal selbst. (Das $W$ steht eigentlich schon da!)
Ich hoffe, das hat dir etwas geholfen.
Viele Grüße
Astrid
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:48 Mi 27.04.2005 | | Autor: | Astrid |
Hallo,
> Schritt 2: [mm]\Rightarrow[/mm]
> Zu zeigen: Falls [mm]U \subset M[/mm] offen ist, existiert [mm]W \subset \IR^n[/mm]
> offen mit [mm]U = M \cap W[/mm].
>
> Dieser Schritt ist recht einfach, den versuche doch mal
> selbst. (Das [mm]W[/mm] steht eigentlich schon da!)
Es war doch nicht ganz so offensichtlich, wie ich anfangs dachte! Schau am besten in Stefans Lösungshinweis (danke, Stefan!)
Viele Grüße
Astrid
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:56 Mi 27.04.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo!
Ergänzend zu Astrids Lösungstipps möchte ich (in Rücksprache mit ihr) noch einmal zur Rückrichtung einen etwas detaillierteren Hinweis geben:
Da [mm] $U\subset [/mm] M$ offen in $M$ ist, gibt es für alle $x [mm] \in [/mm] U$ ein [mm] $\varepsilon(x)>0$ [/mm] mit
[mm] $B_{d_M}(x,\varepsilon(x)) \subset [/mm] U$.
Hierbei bezeichne ich mit [mm] $d_M$ [/mm] die auf $M$ eingeschränkte Metrik $d$ des [mm] $\IR^n$.
[/mm]
Es gilt also:
$U = [mm] \bigcup\limits_{x \in U}B_{d_M}(x,\varepsilon(x)) [/mm] $.
Nun definiere ich:
$W:= [mm] \bigcup\limits_{x \in U}B_{d}(x,\varepsilon(x))$.
[/mm]
Offenbar ist $W$ als Vereinigung offener Mengen offen (im [mm] $\IR^n$!), [/mm] und es gilt:
$U = W [mm] \cap [/mm] M$.
Viele Grüße
Julius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:09 Do 28.04.2005 | | Autor: | sachmeth |
Vielen lieben Dank euch beiden, ihr habt mir echt weitergeholfen!
Ich schreib jetzt noch mal auf, was ich zu Schritt 1 hab:
Beh.: Falls es ein W [mm] \subseteqR [/mm] gibt mit W offene Menge, mit U= M [mm] \capW [/mm] dann ist U offen.
Bew. Da U die Vereinigung zweier Mengen ist, ist es offen, genau dann wenn beide mengen offen sind. W ist aber nach voraussetztung offen und M als metrischer Raum ist doch auch offen. (nach Satz der Vorlesung). Somit ist doch schon gezeigt, dass U offen ist, nicht wahr?
Werd mich nun noch mal schritt 2 widmen, aber ich denke, dass ich jetzt durch euch verstanden hab!
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