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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:22 Do 20.05.2010 | | Autor: | m0ppel |
| Aufgabe | Es sei [mm] f:\IR_{\ge0}\to\IR_{\ge0} [/mm] eine Funktion, die steng monoton wachsend und konkav ist und [mm]f(0)=0[/mm] erfüllt (Beispiel?). Weiter sei (X,d) ein metrischer Raum. Zeigen sie, dass
[mm]d_{f}:X\times X\to\IR[/mm]
[mm](x,y)\mapsto f(d(x,y))[/mm]
eine Metrik auf X ist.
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Ich habe das Thema gerade erst angefangen und bin mir noch nicht ganz sicher bei dem Beweis.
Ich weiß, dass ich die 3 Eigenschaften des metrischen Raums nachweisen muss, um dies zu zeigen:
[mm]i) \forall x,y\in X: d(x,y)= 0 \gdw x = y[/mm]
[mm]ii) \forall x,y\in X: d(x,y)= d(y,x)[/mm]
[mm]iii) \forall x, y,z\in X: d(x,z) ≤ d(x,y)+ d(y,z)[/mm]
Im Prinzip ist mir das klar.
Mein Problem hier ist allerdings, dass nicht d(x,y) definiert wird in meiner Funktionsvorschrift, sondern (x,y) auf [mm]f(d(x,y))[/mm] abgebildet wird.
Kann mir einer einen Tipp geben, wie genau ich das zu verstehen hab?
Vielen Dank schon mal!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo,
du sollst nur zeigen, dass die Eigenschaften der Metrik d sich nach der Abbildung f auf [mm] f\circ [/mm] d übertragen bzw. erhalten bleiben.
lg
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 23:30 Do 20.05.2010 | | Autor: | m0ppel |
Mir ist schon klar, was ich zu zeigen habe, mein Problem ist eher wie ich das richtig aufschreiben muss... könnte mir vielleicht einer ein Beispiel geben, bei dem die Funktionsvorschrift ähnlich zu meiner ist?
Vielen Dank
Lg
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> Es sei [mm]f:\IR_{\ge0}\to\IR_{\ge0}[/mm] eine Funktion, die steng
> monoton wachsend und konkav ist und [mm]f(0)=0[/mm] erfüllt
> (Beispiel?). Weiter sei (X,d) ein metrischer Raum. Zeigen
> sie, dass
>
> [mm]d_{f}:X\times X\to\IR[/mm]
> [mm](x,y)\mapsto f(d(x,y))[/mm]
>
> eine Metrik auf X ist.
>
> Ich habe das Thema gerade erst angefangen und bin mir noch
> nicht ganz sicher bei dem Beweis.
>
> Ich weiß, dass ich die 3 Eigenschaften des metrischen
> Raums nachweisen muss, um dies zu zeigen:
>
> [mm]i) \forall x,y\in X: d(x,y)= 0 \gdw x = y[/mm]
> [mm]ii) \forall x,y\in X: d(x,y)= d(y,x)[/mm]
>
> [mm]iii) \forall x, y,z\in X: d(x,z) ≤ d(x,y)+ d(y,z)[/mm]
Hallo,
genau. Daß die Abbildung [mm] d_f [/mm] diese Eigenschaften hat, ist zu zeigen.
>
> Im Prinzip ist mir das klar.
> Mein Problem hier ist allerdings, dass nicht d(x,y)
> definiert wird in meiner Funktionsvorschrift, sondern (x,y)
> auf [mm]f(d(x,y))[/mm] abgebildet wird.
Die Sache ist doch so: in Deiner Aufgabe wird [mm] d_f [/mm] definiert, wovon Du zeigen sollst, daß es eine Metrik ist.
[mm] d_f [/mm] wird definiert mithilfe der Metrik d und der konkaven Funktion f mit f(0)=0.
Wir wissen zwar weder genau, wie d und f aussehen, aber wichtige Eigenschaften sind bekannt, welche Du natürlich zum Beweis nutzen mußt.
zu i)
zu zeigen: [mm] d_f(x,y)=0 [/mm] <==> x=y=0
Beweis: "==>"
Sei [mm] d_f(x,y)=0, [/mm] also f(d(x,y))=0.
Nun schau Dir die Voraussetzungen an. Es ist vorausgesetzt, daß f(0)=0 ist.
Den Voraussetzungen kannst Du auch entnehmen, daß dies die einzige Nullstelle von f ist.
Was folgt daraus für d(x,y) ? Und weiter?
Dann machst Du "<==", indem Du [mm] d_f(0,0) [/mm] einfach ausrechnest.
Gruß v. Angela
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