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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:58 Mo 26.05.2008 | | Autor: | xMariex |
| Aufgabe | Im metrischen Raum [mm]\IR^2[/mm] mit der euklidischen Metrik [mm]d((x_1,y_1),(x_2,y_2))=\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2}[/mm]
untersuche man, ob folgende Teilmengen [mm]X_j, j\in {1,2,3,4,5,6}[/mm] a) offen b) geschlossen sind:
[mm]X_1 = (0;1)\times \IR[/mm]
[mm]X_2 = (-1;0]\times [1;2)[/mm]
[mm]X_3 = \{(x,y)\in \IR^2|x^2-y^2=1\}[/mm]
[mm]X_4 = \{(x, \bruch{1}{x}cos(x))| x\in \IR_+\}[/mm]
[mm]X_5 = X_4 \cup (\{0\}\times \IR)[/mm]
[mm]X_6 = \{(x,sin\bruch{1}{x})|x\in \IR_+\}\cup (\{0\}\times [-1;1])[/mm]
[mm][/mm][mm][/mm][mm][/mm] |
Ich habe diese Frage auf keiner anderen Internetseite gestellt.
Hi,
ich hab als erstes mir noch mal die Definition rausgesucht und bin auf folgende gestoßen:
Sei (X,d) ein metrischer Raum und U eine Teilmenge von X. Man nennt U dann offen wenn gilt: Für jedes x aus U gibt es eine Zahl [mm]\epsilon > 0[/mm], so dass für jeden Punkt y aus x gilt [mm]d(x,y)< \epsilon[/mm] folgt, dass y in U liegt.
Und das selbe nur noch einmal anders formuliert
Sei (X,d) ein metrischer Raum. Eine Teilmenge [mm]D \subset X[/mm] heißt offen wenn es zu jedem [mm]x\in D[/mm] ein [mm]\epsilon > 0[/mm] gibt mit [mm]K_{\epsilon}(x)\subset[/mm] wobei [mm]K_{\epsilon}(x)= \{y\in X|d(x,y)<\epsilon\}[/mm]
Jetzt steh ich wieder vor dem Problem das ich nicht weiss wie ich mein x wählen soll, also bei X1 a)
[mm]X_1[/mm] ist ja meine Teilmenge also mein U aus der ersten Definition und das ganze ist eine Teilmenge aus dem metrischen Raum [mm]\IR^2[/mm] der eine oben definierte euklidische Metrik hat, also brauch ich als erstes x,y
[mm]x_1,x_2,y_1,y_2 \in X_1[/mm]
Jetzt müsste ich das in die euklidische Metrik einsetzen und folgern [mm]d(x,y)<\epsilon[/mm] aber dafür bräuchte ich ja explizite x und y und da weiss ich nicht wo ich die herbekommen soll.
Grüße,
Marie
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:14 Mo 26.05.2008 | | Autor: | Merle23 |
[mm]X_1 = (0,1) \times \IR = \{(x,y)\in\IR^2|0
Sei nun [mm] (x,y)\in\X_1. [/mm] Wir setzen [mm] \epsilon [/mm] auf min(1-x,x). Dann ist [mm]K_\epsilon(x,y)\subset X_1[/mm].
Warum? Wir brauchen um jeden Punkt der Menge eine [mm] \epsilon-Kugel, [/mm] die noch komplett in der Menge liegt. Da das y in [mm] X_1 [/mm] aus [mm] \IR [/mm] ist, brauchen wir uns darum nicht zu kümmern, denn [mm] \IR [/mm] hat keinen Rand. Es geht also um die x-Komponente. Der Abstand von x zum Rand von [mm] X_1 [/mm] ist min(1-x,x) (also entweder nach oben oder nach unten, was eben näher ist - mal dir n Bild!). Und x kann nicht am Rand liegen (dann wäre min(1-x,x)=0), denn (0,1) hat keinen Rand.
Bei den anderen Teilaufgaben musst du einfach schauen, ob die Menge 'nen Rand hat. Wenn ja, dann nimmste dir einen Randpunkt und zeigst, dass er wirklich am Rand liegt. Ansonsten nimmste einfach immer den Abstand von (x,y) zum Rand als [mm] \epsilon.
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:43 Di 27.05.2008 | | Autor: | xMariex |
Hi,
ich hab mir das jetzt mal aufgezeichnet, das kann ich leider nicht einscannen.
aber nochmal zu [mm] X_1 [/mm] ich hab jetzt mein [mm]\epsilon =min(1-x,x)[/mm] Also hab ich zu jedem [mm]x\in \IR [/mm] einen Punkt min(1-x,x) welcher in dem Kreis liegt.
Aber das müsste ich ja dann noch beweisen, darf ich das den so machen?:
[mm]d(1-x,x)=\sqrt{(1-x-0)^2+(-x)^2}=1[/mm] und da die eins noch mit im Kreis liegt, ist die Menge offen.
Grüße,
Marie
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:29 Di 27.05.2008 | | Autor: | Merle23 |
> Hi,
> ich hab mir das jetzt mal aufgezeichnet, das kann ich
> leider nicht einscannen.
>
> aber nochmal zu [mm]X_1[/mm] ich hab jetzt mein [mm]\epsilon =min(1-x,x)[/mm]
> Also hab ich zu jedem [mm]x\in \IR[/mm] einen Punkt min(1-x,x)
> welcher in dem Kreis liegt.
> Aber das müsste ich ja dann noch beweisen, darf ich das
> den so machen?:
> [mm]d(1-x,x)=\sqrt{(1-x-0)^2+(-x)^2}=1[/mm] und da die eins noch
> mit im Kreis liegt, ist die Menge offen.
>
> Grüße,
> Marie
Also da haste etwas absolut falsch verstanden. (1-x,x) ist kein Punkt, sondern sollte eine Menge sein, von der wir das Minimum nehmen (deswegen steht ja auch da [mm] \epsilon=min(1-x,x)) [/mm] - ich hätte es vll lieber als min{1-x,x} schreiben sollen, also mit geschweiften Klammern.
Und rein theoretisch müsstest du jetzt wirklich noch beweisen, dass [mm] K_{\epsilon}(x,y) \subset X_1 [/mm] ist.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:13 Di 27.05.2008 | | Autor: | lenz |
| Aufgabe | Im metrischen Raum [mm] \IR^{2} [/mm] mit der euklidischen Metrik:
[mm] d((x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{2}))=\wurzel{(x_{1}-x_{2})^{2}+(y_{1}-y_{2})^{2}}
[/mm]
untersuche man, ob folgende Teilmengen [mm] X_{j},j=1,...,6
[/mm]
a) offen ,b)abgesclossen sind:
[mm] X_{1}:=(0;1) \times \IR
[/mm]
[mm] X_{2}:=(-1;0] \times [/mm] [1;2)
[mm] X_{3}:=\{(x,y] \in \IR^{2} | x^{2}-y^{2}=1\}
[/mm]
[mm] X_{4}:=\{(x,\bruch{1}{x}*cosx) | x \in \IR_{+} \}
[/mm]
[mm] X_{5}:= X_{4} \cup (\{0 \} \times \IR [/mm] )
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hallo
Hätte einmal eine Frage zur Notation.Bei [mm] X_{1} [/mm] sind gemeint Punktpaare (x,y)
mit x [mm] \in [/mm] (0;1) und y [mm] \in \IR.Bei X_{4} [/mm] Punktpaare (x,y) mit x=x und [mm] y=\bruch{1}{x}*cosx
[/mm]
und bei [mm] X_{5} [/mm] kommt zu den x-Werten noch die 0 und die y-Werte werden auf [mm] \IR [/mm] erweitert,
seh ich das richtig?
Und die zweite Frage wäre:Wie zeige ich das eine Menge offen bzw geschlossen ist?
Ich weiß das für Offenheit einer Menge X zu zeigen ist,das es zu jedem Punkt im Definitionsbereich eine"Kugel" mit Durchmesser [mm] \varepsilon [/mm] > 0,so dass alle Elemente innerhalb dieser "Kugel"
auch in X liegen,ich hab aber keine Ahnung wie?
Könnte mir vielleicht jemand helfen?
gruß lennart
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(Antwort) fertig | | Datum: | 07:28 Di 27.05.2008 | | Autor: | fred97 |
Zunächst einmal: Du hast Teilmengen des [mm] R^2. [/mm] Da kannst Du schön malen.
Tu das.
Zu X1: nimm eine Punkt (x,y) aus X1 und setze r=0,5max[1-x,x]. Dann liegt die Kreisscheibe um (x,y) mit radius r ganz in X1. Da (x,y) beliebig in X1 war, ist X1 offen. Wenn Du ein Bild malst, siehst Du wie ich auf obiges r gekommen bin.
Zu X2: diese menge ist nicht offen (betrachte z.B. den Punkt (0,1).
Sie ist auch nicht abgeschlossen, das sieht man am Punkt (-1,2)
Male auch hier ein Bild!
Kommst Du nun mit den anderen Mengen klar ?
FRED
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(Korrektur) kleiner Fehler  | | Datum: | 23:33 Di 27.05.2008 | | Autor: | Merle23 |
> Zu X1: nimm eine Punkt (x,y) aus X1 und setze
> r=0,5max[1-x,x].
Es sollte wohl eher r=0,5*min{1-x,x} sein (obwohl man das 0,5 nicht mal braucht) - betrachte z.B. (0.9 , 0), da wäre ja r=0.45.
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