Metrik nicht vollst./ L^2 Norm < Numerik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Zeige, dass [mm] C^0 [/mm] ([0,1], [mm] \IR) [/mm] mit der durch
d(x,y) := ( [mm] \integral_{0}^{1}{(f(x)-g(x))^2 dx} )^{\bruch{1}{2}}
[/mm]
definierte Metrik nicht vollständig ist. |
Huhu,
ich bin am verzweifeln an dieser Aufgabe, obwohl ich nur ein simples Gegenbeispiel haben muss. Eine Art Cauchy Funktionenfolge mit
[mm] d(f_m,f_n) \to [/mm] 0 , n,m [mm] \to \infty [/mm] aber
[mm] d(f_n,f) \not= [/mm] 0 , n [mm] \to \infty
[/mm]
Kann mir jmd mit nem gegenbeispiel oder vlt wenigstens ne Idee in welche Richtung ich schauen muss (Winkelfunktionen, Brüche etc) weiterhelfen?
Vielen lieben Dank im Voraus :)
Evelyn
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Hiho,
fällt dir denn eine auf [0,1] punktweise konvergente Funktionenfolge ein, die nicht gleichmäßig konvergiert?
MFG,
Gono.
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ich glaube ich hab ne Idee:
Ich betrachte auf dem Intervall die Funktionen folge [mm] f_n [/mm] := [mm] x^n
[/mm]
Dann ist erfüllt, dass es eine Art Cauchy Funktionenfolge ist.
wenn ich jetzt
[mm] d(f_n,f) [/mm] betrachte, darf ich dann sagen, dass f bel aber fest ist? f kann ja nur 1 oder 0 sein. wenn ich das Teilintervall [0,1) betrachte, darf ich denke ich nicht f = bel. von den zwei werten setzen, sondern muss ja0 nehmen.
D.h. [mm] d(f_n,f) [/mm] wäre mit n [mm] \to \infty [/mm] trotzdem 0 . hm.... Ich überleg mir mal ne andre
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:23 So 28.10.2012 | | Autor: | Gonozal_IX |
Hiho,
vorweg: Stell deine Frage doch nächstemal als solche, dann erkennt man sie auch.
Nun: deine Idee ist gut.
Was ist denn der normale (punktweise) Grenzwert von [mm] f_n [/mm] ?
Zeige dann, dass [mm] f_n [/mm] auch bezüglich deiner gegebenen Metrik gegen diesen Grenzwert konvergiert!
Das ist natürlich Quatsch, was ich da geschrieben hab. Die gegebene Funktionenfolge konvergiert bezüglich deiner Metrik einfach gegen die Nullfunktion.
Es funktioniert also nicht mit solchen Funktionenfolgen, wo die Grenzfunktion nur "am Rand" eine Sprungstelle bekommt (warum nicht?).
Aber was wäre denn bspw. mit:
[mm] $f_n [/mm] = [mm] \begin{cases} 0, & x\in \left[0,\bruch{1}{2}\right] \\ n\left(x-\bruch{1}{2}\right), & x\in\left(\bruch{1}{2},\bruch{1}{2} + \bruch{1}{n}\right) \\ 1, & x\in \left[\bruch{1}{2} + \bruch{1}{n},1\right] \end{cases}$
[/mm]
MFG,
Gono.
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> Das ist natürlich Quatsch, was ich da geschrieben hab. Die
> gegebene Funktionenfolge konvergiert bezüglich deiner
> Metrik einfach gegen die Nullfunktion.
> Es funktioniert also nicht mit solchen Funktionenfolgen,
> wo die Grenzfunktion nur "am Rand" eine Sprungstelle
> bekommt (warum nicht?).
>
> Aber was wäre denn bspw. mit:
>
>
> [mm]f_n = \begin{cases} 0, & x\in \left[0,\bruch{1}{2}\right] \\ n\left(x-\bruch{1}{2}\right), & x\in\left(\bruch{1}{2},\bruch{1}{2} + \bruch{1}{n}\right) \\ 1, & x\in \left[\bruch{1}{2} + \bruch{1}{n},1\right] \end{cases}[/mm]
>
woah das Ding ist hammer...^^ Ich zweifle an der pktw Konvergenz ( oder soll sie das gar nicht sein?), aufgrund des mittleren Funktionsabschnittes. Ich kann mir das ehrlich gesagt auch graphisch nicht wirklich vorstellen wie die verläuft, tut mir leid :( . auch die angestrebte Grenzwertfunktion des mittleren Teils ist mir nicht klar. Für n [mm] \to \infty [/mm] , läufts gegen 0 weil auch das Intervall (1/2, 1/2 + 1/n) auf 1/2 beschänkt wird?
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Hiho,
> woah das Ding ist hammer...^^ Ich zweifle an der pktw Konvergenz
warum?
Beweise sie doch einfach!
> Ich kann mir das ehrlich gesagt auch graphisch nicht wirklich vorstellen wie die verläuft, tut mir leid :( .
Dann zeichne sie dir doch einfach mal für n=1,2,3 !
So schwer ist die nun wirklich nicht....
> Für n [mm]\to \infty[/mm] , läufts gegen 0 weil auch das Intervall (1/2, 1/2 + 1/n) auf 1/2 beschänkt wird?
Ja.
Zeichnen!
Und dann schauen, was die konvergenz anschaulich macht.
MFG,
Gono.
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sry du hast Recht, man sollte sich das für niedrige n mal zeichnen.
Ich habs auch soweit alles berechnet und gezeigt, dass
[mm] d(f_n,f)
[/mm]
mit
d(n [mm] \* [/mm] (x-0,5) , 0 ) nicht gegen 0 geht in der gegebenen Metrik. (n [mm] \to \infty)
[/mm]
Nochmals vielen Dank für die tolle Funktionenfolge :) !
Und einen schönen Abend :)
Evelyn
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> Hiho,
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> > Ich habs auch soweit alles berechnet und gezeigt, dass
> > [mm]d(f_n,f)[/mm]
> > mit
> > d(n [mm]\*[/mm] (x-0,5) , 0 ) nicht gegen 0 geht in der
> gegebenen
> > Metrik. (n [mm]\to \infty)[/mm]
>
> na dann hast du Blödsinn gezeigt 
> Aber wie gut, dass du keine Fragen mehr hast 
>
Na dann muss ich jetzt aber fragen: Wieso hab ich Blödsinn gezeigt?
Ich muss doch zeigen dass [mm] d(f_n,f) [/mm] nicht gegen 0 geht für n gegen unendlich.
wenn ich in meiner Metrik beides einsetze, so erhalte ich als Ergebnis ein Limes , der gegen unendlich strebt. Was ist daran falsch?
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Hiho,
> Na dann muss ich jetzt aber fragen: Wieso hab ich Blödsinn gezeigt?
> Ich muss doch zeigen dass [mm]d(f_n,f)[/mm] nicht gegen 0 geht für n gegen unendlich.
Nein!
Darum sollten wir jetzt erstmal überlegen, was es heißt, dass ein Raum nicht vollständig ist.
Dafür bedarf es der Definition von Vollständigkeit.
> wenn ich in meiner Metrik beides einsetze, so erhalte ich als Ergebnis ein Limes , der gegen unendlich strebt. Was ist daran falsch?
Dein Ergebnis.
Rechne doch mal vor, was [mm] d(f_n,f) [/mm] ist.
MFG,
Gono.
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> Hiho,
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> > Na dann muss ich jetzt aber fragen: Wieso hab ich Blödsinn
> gezeigt?
> > Ich muss doch zeigen dass [mm]d(f_n,f)[/mm] nicht gegen 0 geht
> für n gegen unendlich.
>
> Nein!
> Darum sollten wir jetzt erstmal überlegen, was es heißt,
> dass ein Raum nicht vollständig ist.
> Dafür bedarf es der Definition von Vollständigkeit.
Die Grenzfunktion muss im Raum liegen, d.h. die Grenzfunktion muss unter der gegebenen Metrik in diesem Fall eine [mm] C^0 [/mm] also eine stetige Funktion sein. Bzw muss ich ein Beispiel finden wo es nicht der Fall ist.
> > wenn ich in meiner Metrik beides einsetze, so erhalte ich
> als Ergebnis ein Limes , der gegen unendlich strebt. Was
> ist daran falsch?
>
> Dein Ergebnis.
> Rechne doch mal vor, was [mm]d(f_n,f)[/mm] ist.
[mm] d(f_n,f) [/mm] bezogen auf den mittleren Teil der Funktionenfolge:
( [mm] \integral_{0}^{1}{ (n \* (x- 0,5) -0 )^2 dx} )^{1/2}
[/mm]
Das ist ohne viele Zwischenschritte
Das Integral von 0 bis 1 über
( ( nx- [mm] 0,5n)^2 )^{1/2} [/mm] = [mm] (n^2 x^2 [/mm] + 1/4 [mm] \* n^2 [/mm] - [mm] n^2 \* [/mm] x [mm] )^{1/2}
[/mm]
Das Integral ergibt nun:
( 1/3 [mm] n^2 [/mm] + 1/4 [mm] n^2 [/mm] - 1/2 [mm] n^2 )^{1/2}
[/mm]
Das ist dann [mm] \wurzel{ 1/12 \* n^2 } [/mm] und für n [mm] \to \infty [/mm] ist das doch gegen unendlch.
wo ist der fehler?
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Hiho,
> Die Grenzfunktion muss im Raum liegen, d.h. die
> Grenzfunktion muss unter der gegebenen Metrik in diesem
> Fall eine [mm]C^0[/mm] also eine stetige Funktion sein. Bzw muss
> ich ein Beispiel finden wo es nicht der Fall ist.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> > > wenn ich in meiner Metrik beides einsetze, so erhalte ich
> > als Ergebnis ein Limes , der gegen unendlich strebt. Was
> > ist daran falsch?
Dass du dann einfach nur zeigst, dass [mm] f_n [/mm] eben nicht deine Grenzfunktion ist.
Natürlich muss für Konvergenz weiterhin gelten [mm] $d(f_n,f) \to [/mm] 0$
> [mm]d(f_n,f)[/mm] bezogen auf den mittleren Teil der
> Funktionenfolge:
> ( [mm]\integral_{0}^{1}{ (n \* (x- 0,5) -0 )^2 dx} )^{1/2}[/mm]
Und hier liegst du schon falsch!
Was ist denn deine Grenzfunktion?
Wenn du die korrekt von f abziehst, fällst ganz viel weg, bis auf den mittleren Bereich => ok, aber in welchem Bereich denn??
MFG,
Gono.
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also muss ich 3 Integral bilden in etwa
( [mm] \integral_{0}^{0,5}{(0-0)^2 dx} )^{1/2}
[/mm]
( [mm] \integral_{0,5}^{0,5 + 1/n}{(n(x-0,5)-0)^2 dx} )^{1/2}
[/mm]
( [mm] \integral_{1/2 +1/n}^{1}{(1-1)^2 dx} )^{1/2}
[/mm]
wobei das erste und dritte rausfallen. Ist das so richtig mit den grenzen?
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Hiho,
> also muss ich 3 Integral bilden in etwa
Na nicht nur in etwa.
> ( [mm]\integral_{0}^{0,5}{(0-0)^2 dx} )^{1/2}[/mm]
> (
> [mm]\integral_{0,5}^{0,5 + 1/n}{(n(x-0,5)-0)^2 dx} )^{1/2}[/mm]
> (
> [mm]\integral_{1/2 +1/n}^{1}{(1-1)^2 dx} )^{1/2}[/mm]
Na dann mal los.
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> Hiho,
>
> > also muss ich 3 Integral bilden in etwa
>
> Na nicht nur in etwa.
>
> > ( [mm]\integral_{0}^{0,5}{(0-0)^2 dx} )^{1/2}[/mm]
> > (
> > [mm]\integral_{0,5}^{0,5 + 1/n}{(n(x-0,5)-0)^2 dx} )^{1/2}[/mm]
> >
> (
> > [mm]\integral_{1/2 +1/n}^{1}{(1-1)^2 dx} )^{1/2}[/mm]
>
>
>
> Na dann mal los.
>
also wir sagten ja bereits das erste und letzte Integral ist ja eh Null. Aber das in der Mitte habe ich jetzt berechnet und hab am ende
[mm] \wurzel{\bruch{1}{3n}} [/mm] raus und mit limes n [mm] \to \infty [/mm] wäre es ja 0 und das soll es ja nicht sein, hab mich wohl verrechnet oder?
Was ich berechnet habe war die Wurzel aus:
1/3 [mm] \* n^2 \* [/mm] (0,5+ [mm] 1/n)^3 [/mm] - 1/2 [mm] \* n^2 \* [/mm] (0,5 [mm] +1/n)^2 [/mm] + 1/8 [mm] \* n^2 [/mm] +1/4 [mm] \* [/mm] n
- 1/3 [mm] \* n^2 \* 0,5^3 [/mm] + 1/2 [mm] \* n^2 \* 0,5^2 [/mm] -1/8 [mm] \* n^2
[/mm]
ist da an dem Ausgangsterm schon was falsch?...
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Hiho,
> Aber das in der Mitte habe ich jetzt berechnet und hab am ende
> [mm]\wurzel{\bruch{1}{3n}}[/mm] raus und mit limes n [mm]\to \infty[/mm] wäre es ja 0
> und das soll es ja nicht sein, hab mich wohl verrechnet oder?
Na klar soll das sein!
[mm] $d(f_n,f) \to [/mm] 0$ muss doch gelten, damit [mm] $f_n \to [/mm] f$ gilt, und das wollen wir doch haben.
So, nun verbinde das nochmal mit dem, was du eigentlich zeigen willst, nämlich der nicht vorhandenen Vollständigkeit.
Du hast nun eine Folge [mm] (f_n)_{n\in\IN} \subset $C^0[0,1]$ [/mm] gefunden mit..... na mach mal weiter.
MFG,
Gono.
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> Hiho,
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> > Aber das in der Mitte habe ich jetzt berechnet und hab am
> ende
> > [mm]\wurzel{\bruch{1}{3n}}[/mm] raus und mit limes n [mm]\to \infty[/mm]
> wäre es ja 0
>
>
>
> > und das soll es ja nicht sein, hab mich wohl verrechnet
> oder?
>
> Na klar soll das sein!
> [mm]d(f_n,f) \to 0[/mm] muss doch gelten, damit [mm]f_n \to f[/mm] gilt, und
> das wollen wir doch haben.
>
> So, nun verbinde das nochmal mit dem, was du eigentlich
> zeigen willst, nämlich der nicht vorhandenen
> Vollständigkeit.
>
> Du hast nun eine Folge [mm](f_n)_{n\in\IN} \subset[/mm] [mm]C^0[0,1][/mm]
> gefunden mit..... na mach mal weiter.
mit einer unstetigen Grenzwertfunktion!!!!! Da f [mm] \not\in C^0 [/mm] ist der Raum nicht vollständig!!!
>
> MFG,
> Gono.
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Hiho,
> > Du hast nun eine Folge [mm](f_n)_{n\in\IN} \subset[/mm] [mm]C^0[0,1][/mm]
> > gefunden mit..... na mach mal weiter.
> mit einer unstetigen Grenzwertfunktion!!!!! Da f [mm]\not\in C^0[/mm]
> ist der Raum nicht vollständig!!!
und wieder sind wir ein Stück schlauer geworden....
Als Übung kannst du dir ja mal folgendes überlegen:
Es sollte bekannt sein, dass der Raum [mm] C^0 [/mm] mit der Supremumsnorm [mm] $||f||_\infty$ [/mm] vollständig ist (d.h. Vollständigkeit hängt immer von der Norm ab!)
Gilt denn nun auch [mm] $f_n \to [/mm] f$ bezüglich der Supremumsnorm?
Wenn ja, zeigen, wenn nein, warum nicht.
MFG,
Gono.
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oh supi ich tanz jetzt erstma ne Runde im Kreis :) Echtes Erfolgserlebnis !
Vielen lieben Dank für deine Mühe und dein Beispiel werd ich mir auf jeden Fall vornehmen!
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