Metrik Raum aller Folgen < Topologie+Geometrie < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:22 So 11.11.2012 | | Autor: | Maxga |
| Aufgabe | Sei [mm] (M,d_{1}) [/mm] ein metrischer Raum, X die Menge aller Folgen x = [mm] (x_{k}) [/mm] in M, und [mm] d_{2}:MxM [/mm] -> [mm] \IR [/mm] definiert durch:
[mm] d_{2} [/mm] (x,y) = [mm] \summe_{k=1}^{\infty} \bruch{1}{2^{k}} [/mm] * [mm] \bruch{,d_{1}(x_{k},y_{k})}{1+d_{1}(x_{k},y_{k})}
[/mm]
Zeigen Sie:
(a) [mm] (X,d_{2}) [/mm] ist metrischer Raum
(b) In [mm] (X,d_{2}) [/mm] konvergiert eine Folge [mm] (x_{k}) [/mm] g.d.w. sie es koordinatenweise tut. (d.h. wenn für [mm] x_{k}= (x_{k_{n}}) \in [/mm] M und a = [mm] (a_{n}) \in [/mm] M gilt:
[mm] \limes_{k\rightarrow\infty} x_{k} [/mm] = a <=> [mm] \limes_{k\rightarrow\infty} x_{k_{n}} [/mm] = [mm] a_{n} [/mm] für alle n [mm] \in \IN [/mm] ) |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hey,
ich habe so meine Probleme mit der obigen Aufgabe.
zu (a):
Ich habe im Moment keine Ideen wie ich das nachweisen könnte. Symmetrie, positiv definit und Wohldefiniertheit ist einfach, aber bei der Dreiecksungleichung komme ich nicht weiter.
Ich müsste zeigen, dass für A,B,C [mm] \ge [/mm] 0 , A [mm] \le [/mm] B+C gilt:
[mm] \bruch{A}{1+A} \le \bruch{B}{1+B} [/mm] + [mm] \bruch{C}{1+C} [/mm] ,
komme da aber irgendwie nicht hin. Irgendwelche Ansätze, die mir hier helfen könnten?
zu (b):
Hier bin ich erstmal ein wenig verwirrt. Ein Folgenglied [mm] x_{k} [/mm] ist hier ein Tupel aus Werten [mm] x_{k_{1}} [/mm] bis [mm] x_{k_{n}} [/mm] richtig?
Also im Prinzip so wie im [mm] \IR^{n} [/mm] . Ich bin nur etwas verwirrt welche Metrik ich wann anwenden muss, müsste [mm] d_{2} [/mm] nicht auch eigentlich vom Typ X x X sein und nicht MxM? Ich dachte das soll eine Metrik auf X definieren.
Im allgemeinen ist Konvergenz für eine Metrik d ja:
[mm] \forall \varepsilon>0 \exists [/mm] N [mm] \in \IN \forall [/mm] n [mm] \ge [/mm] N : [mm] d(x_{n},a)<\varepsilon [/mm] ,
wenn also [mm] \limes_{k\rightarrow\infty} x_{k} [/mm] = a , bzgl. welcher Metrik gilt das dann?
Und wenn [mm] \limes_{k\rightarrow\infty} x_{k_{n}} [/mm] = [mm] a_{n} [/mm] für alle n [mm] \in \IN [/mm] , bzgl. welcher Metrik ist das?
Ich hoffe ihr könnt Licht ins Dunkel bringen,
danke schonmal!
LG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:49 So 11.11.2012 | | Autor: | Maxga |
Hey,
bin gerade etwas mit der Forenstruktur überfordert,
hoffe das hier ist jetzt eine Antwort schreiben:
Habe jetzt zu (a) etwas wegen der Dreiecksungleichung, stimmt das soweit, oder ist irgendwo nen Denkfehler drin?
[mm] \bruch{A}{1+A} [/mm] = [mm] \bruch{A+1-1}{1+A} [/mm] = 1 - [mm] \bruch{1}{1+A} \le [/mm] 1- [mm] \bruch{1}{1+B+C} [/mm] = [mm] \bruch{B+C}{1+B+C} [/mm] = [mm] \bruch{B}{1+B+C} +\bruch{C}{1+B+C} \le \bruch{B}{1+B} [/mm] + [mm] \bruch{C}{1+C}
[/mm]
Bei (b) bin ich leider immernoch verwirrt.
LG
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 02:07 Mo 12.11.2012 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Hey,
> bin gerade etwas mit der Forenstruktur überfordert,
> hoffe das hier ist jetzt eine Antwort schreiben:
> Habe jetzt zu (a) etwas wegen der Dreiecksungleichung,
> stimmt das soweit, oder ist irgendwo nen Denkfehler drin?
> [mm]\bruch{A}{1+A}[/mm] = [mm]\bruch{A+1-1}{1+A}[/mm] = 1 - [mm]\bruch{1}{1+A} \le[/mm]
> 1- [mm]\bruch{1}{1+B+C}[/mm] = [mm]\bruch{B+C}{1+B+C}[/mm] = [mm]\bruch{B}{1+B+C} +\bruch{C}{1+B+C} \le \bruch{B}{1+B}[/mm]
> + [mm]\bruch{C}{1+C}[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Viele Grüße
Rainer
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(Antwort) fertig | | Datum: | 02:15 Mo 12.11.2012 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Sei [mm](M,d_{1})[/mm] ein metrischer Raum, X die Menge aller Folgen
> x = [mm](x_{k})[/mm] in M, und [mm]d_{2}:MxM[/mm] -> [mm]\IR[/mm] definiert durch:
> [mm]d_{2}[/mm] (x,y) = [mm]\summe_{k=1}^{\infty} \bruch{1}{2^{k}}[/mm] *
> [mm]\bruch{,d_{1}(x_{k},y_{k})}{1+d_{1}(x_{k},y_{k})}[/mm]
> Zeigen Sie:
> (a) [mm](X,d_{2})[/mm] ist metrischer Raum
> (b) In [mm](X,d_{2})[/mm] konvergiert eine Folge [mm](x_{k})[/mm] g.d.w. sie
> es koordinatenweise tut. (d.h. wenn für [mm]x_{k}= (x_{k_{n}}) \in M[/mm]
> und [mm]a = (a_{n}) \in M[/mm] gilt:
> [mm]\limes_{k\rightarrow\infty} x_{k}[/mm] = a <=>
> [mm]\limes_{k\rightarrow\infty} x_{k_{n}}[/mm] = [mm]a_{n}[/mm] für alle n
> [mm]\in \IN[/mm] )
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Hey,
> ich habe so meine Probleme mit der obigen Aufgabe.
> zu (a):
> Ich habe im Moment keine Ideen wie ich das nachweisen
> könnte. Symmetrie, positiv definit und Wohldefiniertheit
> ist einfach, aber bei der Dreiecksungleichung komme ich
> nicht weiter.
> Ich müsste zeigen, dass für A,B,C [mm]\ge[/mm] 0 , A [mm]\le[/mm] B+C
> gilt:
> [mm]\bruch{A}{1+A} \le \bruch{B}{1+B}[/mm] + [mm]\bruch{C}{1+C}[/mm] ,
> komme da aber irgendwie nicht hin. Irgendwelche Ansätze,
> die mir hier helfen könnten?
>
> zu (b):
> Hier bin ich erstmal ein wenig verwirrt. Ein Folgenglied
> [mm]x_{k}[/mm] ist hier ein Tupel aus Werten [mm]x_{k_{1}}[/mm] bis [mm]x_{k_{n}}[/mm]
> richtig?
> Also im Prinzip so wie im [mm]\IR^{n}[/mm] . Ich bin nur etwas
> verwirrt welche Metrik ich wann anwenden muss, müsste
> [mm]d_{2}[/mm] nicht auch eigentlich vom Typ X x X sein und nicht
> MxM? Ich dachte das soll eine Metrik auf X definieren.
Ja, [mm] $d_2$ [/mm] ist auf [mm] $X\times [/mm] X$ definiert.
Die Schreibweise ist sowieso sehr ungenau. [mm]x_{k}= (x_{k_{n}}) \in M[/mm] ist Unsinn, gemeint ist
[mm]x_k = (x_{k_{n}})\in X[/mm],
aber für die einzelnen Folgenglieder gilt natürlich [mm] $x_{k_n}\in [/mm] M$.
Ebenso [mm] $a\in [/mm] X$, aber [mm] $a_n\in [/mm] M$.
> Im allgemeinen ist Konvergenz für eine Metrik d ja:
> [mm]\forall \varepsilon>0 \exists[/mm] N [mm]\in \IN \forall[/mm] n [mm]\ge[/mm] N :
> [mm]d(x_{n},a)<\varepsilon[/mm] ,
> wenn also [mm]\limes_{k\rightarrow\infty} x_{k}[/mm] = a , bzgl.
> welcher Metrik gilt das dann?
[mm] $d_2$, [/mm] denn [mm] $x_k,a\in [/mm] X$.
> Und wenn [mm]\limes_{k\rightarrow\infty} x_{k_{n}}[/mm] = [mm]a_{n}[/mm]
> für alle n [mm]\in \IN[/mm] , bzgl. welcher Metrik ist das?
[mm] $d_1$, [/mm] denn [mm] $x_{k_{n}},a_n\in [/mm] M$.
Die eine Richtung der Behauptung ist ja einfach: wenn alle [mm] $x_{k_n}$ [/mm] jeweils gegen [mm] $a_n$ [/mm] konvergieren, dann ist
[mm] d_2(x_k,a) = \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{1}{2^{n}}\bruch{d_{1}(x_{k_n},a_n)}{1+d_{1}(x_{k_n},a_n)} \le \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{1}{2^{n}}d_{1}(x_{k_n},a_n) \mathop{\longrightarrow}_{k\to \infty} 0[/mm],
da [mm] $d_{1}(x_{k_n},a_n) \mathop{\longrightarrow}_{k\to \infty} [/mm] 0$ .
Viele Grüße
Rainer
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:59 Mo 12.11.2012 | | Autor: | Maxga |
Edit: Hier stand Blödsinn, gut dass das noch niemand gelesen hat : p
Edit2: Hm ich finds irgendwie gerade schwer eine Aussage über [mm] d_{1}(x_{k_{n}},a_{n}) [/mm] zu machen. bei der Rückrichtung.
Paar Überlegungen von mir, die für mich Sinn machen, aber ich weiß noch net wie ich das dann richtig aufschriebe, oder ob das überhaupt richtig ist, sind jetzt auch nicht so richtig mathematisch, das geistert mir gerad nur so im Kopf rum:
Also nach Annahme ist ja
[mm] \limes_{k\rightarrow\infty} d_{2}(x_{k},a) [/mm] = 0,
d.h. [mm] \limes_{k\rightarrow\infty} \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{1}{2^{n}}\bruch{d_{1}(x_{k_{n}},a_{n})}{1+d_{1}(x_{k_{n}},a_{n})} [/mm] = 0.
Nun ist [mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{1}{2^{n}} [/mm] = [mm] \bruch{1}{1-\bruch{1}{2}} [/mm] = 2 (geometrische Reihe), und da das nicht von k abhängt auch [mm] \limes_{k\rightarrow\infty} \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{1}{2^{n}} [/mm] = 2.
Und jetzt kommt der Schritt, bei dem mir leider die vernünftige Begründung fehlt, der für mich aber so erstmal Sinn macht:
Wenn also [mm] \limes_{k\rightarrow\infty} \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{1}{2^{n}} [/mm] = 2 , aber [mm] \limes_{k\rightarrow\infty} \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{1}{2^{n}}\bruch{d_{1}(x_{k_{n}},a_{n})}{1+d_{1}(x_{k_{n}},a_{n})} [/mm] = 0 ,
muss ja eigentlich [mm] \limes_{k\rightarrow\infty} \bruch{d_{1}(x_{k_{n}},a_{n})}{1+d_{1}(x_{k_{n}},a_{n})} [/mm] = 0,
denn [mm] \limes_{k\rightarrow\infty} \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{1}{2^{n}} [/mm] ist ja immer 2, und irgendwie muss das ganze ja beliebig klein( 0 ) werden, also durch den 2. Faktor.
Da bräuchte ich halt ne vernünftige Begründung für. Weil wenn
[mm] \limes_{k\rightarrow\infty} \bruch{d_{1}(x_{k_{n}},a_{n})}{1+d_{1}(x_{k_{n}},a_{n})} [/mm] = 0 <=> [mm] \limes_{k\rightarrow\infty} [/mm] (1 - [mm] \bruch{1}{1+d_{1}(x_{k_{n}},a_{n})}) [/mm] = 0 <=> [mm] \limes_{k\rightarrow\infty} \bruch{1}{1+d_{1}(x_{k_{n}},a_{n})} [/mm] = 1
<=> [mm] \bruch{1}{1+ \limes_{k\rightarrow\infty}d_{1}(x_{k_{n}},a_{n})} [/mm] = 1
<=> [mm] \limes_{k\rightarrow\infty}d_{1}(x_{k_{n}},a_{n}) [/mm] = 0.
Und das wäres ja dann.
Bräuchte also "nur"(wird wohl das schwierigste daran sein) Hilfe, wie ich das richtig begründe den einen Schritt, dass
[mm] \limes_{k\rightarrow\infty} \bruch{d_{1}(x_{k_{n}},a_{n})}{1+d_{1}(x_{k_{n}},a_{n})} [/mm] = 0
LG
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:43 Di 13.11.2012 | | Autor: | Maxga |
Ah ich denke jetzt habe ich es. Da ich mein n [mm] \in \IN [/mm] vorher ja als beliebig, aber fest festlege, ist folgendes legitim oder?
[mm] \bruch{d_{1}(x_{k_{n}},a_{n})}{1+d_{1}(x_{k_{n}},a_{n})} \le 2^n \summe_{j=1}^{\infty} \bruch{1}{2^{j}}\bruch{d_{1}(x_{k_{j}},a_{j})}{1+d_{1}(x_{k_{j}},a_{j})} \mathop{\longrightarrow}_{k\to \infty} [/mm] 0
=> [mm] \bruch{d_{1}(x_{k_{n}},a_{n})}{1+d_{1}(x_{k_{n}},a_{n})}\mathop{\longrightarrow}_{k\to \infty} [/mm] 0
Der Rest folgt dann wie im Beitrag hier drüber.
LG
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