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| Aufgabe | Sei X unendliche Menge. Für p [mm] \in [/mm] X und q [mm] \in [/mm] X definiere:
[mm] d(p,q)=\begin{cases} 1, & {(p\not=q)} \\ 0, & {(p =q)} \end{cases}
[/mm]
Man beweise, dass dies eine Metrik ist. Welche Teilmengen des resultierenden metrischen Raumes sind offen? Welche sind abgeschlossen? Welche sind kompakt? |
Ok, dass es eine Metrik ist, habe ich gezeigt mit
d(p,p) = 0
d(p,q) = d(p,q)
d(p,q) [mm] \le [/mm] d(p,r) + d(r,q)
Mein Problem liegt jetzt eher in der Bestimmung der Teilmengen.
Ich weiß immerhin, dass eine Menge M offen ist, wenn alle ihre Punkte auch innere Punkte sind, d.h. wenn es zu jedem Punkt der Menge eine Umgebung U gibt, für die gilt: U [mm] \subset [/mm] M
Abgeschlossen ist eine Menge, wenn alle Häufungspunkte von M in M liegen.
Und kompakt ist eine Menge, wenn sie sowohl abgeschlossen, als auch beschränkt ist.
Wie finde ich jetzt aber diese Teilmengen für den angegebenen metrischen Raum?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:46 Fr 30.11.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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