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Metrik: Frage (beantwortet)

Status:	(Frage) beantwortet
Datum:	17:26 Di 19.10.2010
Autor:	Bodo0686

Aufgabe

 Sei M eine Menge. Man zeige: auf der Menge [mm] ABB(M,\IR) [/mm] ist [mm] d(f,g):=sup_{x\in M} \frac{|f(x)-g(x)|}{1+|f(x)-g(x)|} [/mm] ist eine Metrik. 

Hallo,

also wieder das übliche.

i)d(f,g)=0 [mm] \gdw [/mm] f=g
ii)d(f,g)=d(g,f)
iii)d(f,g) [mm] \le [/mm] d(f,z)+d(z,g)

zu ii)

[mm] d(f,g)=\frac{|f(x)-g(x)|}{1+|f(x)-g(x)|} =\frac{|g(x)-f(x)|}{1+|g(x)-f(x)|} [/mm] =d(g,f)

zu iii)

[mm] d(f,g)=\frac{|f(x)-g(x)|}{1+|f(x)-g(x)|} [/mm] = [mm] |\frac{|f(x)-z(x)|}{1+|f(x)-z(x)|}+\frac{|z(x)-g(x)|}{1+|z(x)-g(x)|}| \le \frac{|f(x)-z(x)|}{1+|f(x)-z(x)|}+\frac{|z(x)-g(x)|}{1+|z(x)-g(x)|}=d(f,z)+d(z,g) [/mm]

Kann man das so lassen?

Gruß

Bezug

Metrik: Antwort

Status:	(Antwort) fertig
Datum:	17:59 Di 19.10.2010
Autor:	MathePower

Hallo Bodo0686,

> Sei M eine Menge. Man zeige: auf der Menge [mm]ABB(M,\IR)[/mm] ist
> [mm]d(f,g):=sup_{x\in M} \frac{|f(x)-g(x)|}{1+|f(x)-g(x)|}[/mm] ist
> eine Metrik.
>
>
> Hallo,
>
> also wieder das übliche.
>
> i)d(f,g)=0 [mm]\gdw[/mm] f=g
>  ii)d(f,g)=d(g,f)
>  iii)d(f,g) [mm]\le[/mm] d(f,z)+d(z,g)
>
> zu ii)
>
> [mm]d(f,g)=\frac{|f(x)-g(x)|}{1+|f(x)-g(x)|} =\frac{|g(x)-f(x)|}{1+|g(x)-f(x)|}[/mm]
> =d(g,f)
>
> zu iii)
>
> [mm]d(f,g)=\frac{|f(x)-g(x)|}{1+|f(x)-g(x)|}[/mm] =
> [mm]|\frac{|f(x)-z(x)|}{1+|f(x)-z(x)|}+\frac{|z(x)-g(x)|}{1+|z(x)-g(x)|}| \le \frac{|f(x)-z(x)|}{1+|f(x)-z(x)|}+\frac{|z(x)-g(x)|}{1+|z(x)-g(x)|}=d(f,z)+d(z,g)[/mm]
>
> Kann man das so lassen?

Nein.

Es ist

[mm]|\frac{|f(x)-z(x)|}{1+|f(x)-z(x)|}+\frac{|z(x)-g(x)|}{1+|z(x)-g(x)|}| = \frac{|f(x)-z(x)|}{1+|f(x)-z(x)|}+\frac{|z(x)-g(x)|}{1+|z(x)-g(x)|}[/mm]

Damit steht da:

[mm]d(f,g)=\frac{|f(x)-g(x)|}{1+|f(x)-g(x)|} = ... \le \frac{|f(x)-z(x)|}{1+|f(x)-z(x)|}+\frac{|z(x)-g(x)|}{1+|z(x)-g(x)|}=d(f,z)+d(z,g)[/mm]

Es fehlen also noch ein paar Zwischenschritte.

Beginne so:

[mm]d(f,g)=\frac{|f(x)-g(x)|}{1+|f(x)-g(x)|}=\frac{|f(x)-z(x)+z(x)-g(x)|}{1+|f(x)-z(x)+z(x)-g(x)|} \le \frac{|f(x)-z(x)|+|z(x)-g(x)|}{1+|f(x)-z(x)+z(x)-g(x)|}[/mm]

Führe nun die Ungleichungskette weiter, bis zu dem Resultat

[mm]\le \frac{|f(x)-z(x)|}{1+|f(x)-z(x)|}+\frac{|z(x)-g(x)|}{1+|z(x)-g(x)|}=d(f,z)+d(z,g)[/mm]

kommst.

>
>
> Gruß

Gruss
MathePower