Metrik < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:23 Mo 19.10.2009 | | Autor: | Bodo0686 |
| Aufgabe | | Es sei A [mm] \subset \IR^n [/mm] abgeschlossen und x [mm] \not\in [/mm] A. Man zeige: Es gibt ein d >0, so dass für alle y [mm] \in [/mm] A gilt ||x-y|| [mm] \ge [/mm] d |
Hallo Zusammen,
könnt ihr mir hier behilflich sein? Mir fehlt eine passende Idee:
x-y ist ja gerade der Abstand von Punkt x zu Punkt y.
Ich habe eine Menge A die in dem [mm] R^n [/mm] drin liegt, aber der Punkt x selbst nicht.
d(x,y) = ||x-y|| [mm] \ge [/mm] ||x|| - ||y|| [mm] \ge [/mm] || y || (da x nicht in der Menge liegt) [mm] \ge [/mm] y
Bitte um kurze Rückmeldung.
Grüße
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:34 Mo 19.10.2009 | | Autor: | fred97 |
> Es sei A [mm]\subset \IR^n[/mm] abgeschlossen und x [mm]\not\in[/mm] A. Man
> zeige: Es gibt ein d >0, so dass für alle y [mm]\in[/mm] A gilt
> ||x-y|| [mm]\ge[/mm] d
> Hallo Zusammen,
>
> könnt ihr mir hier behilflich sein? Mir fehlt eine
> passende Idee:
>
> x-y ist ja gerade der Abstand von Punkt x zu Punkt y.
Nein, der Abstand ist $||x-y||$
> Ich habe eine Menge A die in dem [mm]R^n[/mm] drin liegt, aber der
> Punkt x selbst nicht.
>
> d(x,y) = ||x-y|| [mm]\ge[/mm] ||x|| - ||y|| [mm]\ge[/mm] || y || (da x nicht
> in der Menge liegt) [mm]\ge[/mm] y
Das ist doch völliger Unsinn. Wieso ||x|| - ||y|| [mm]\ge[/mm] || y || ??
|| y || [mm] \ge [/mm] y ????????????
>
> Bitte um kurze Rückmeldung.
Mach einen Widerspruchsbeweis: Annahme, ein solches d>0 gibt es nicht.
Ist nun n [mm] \in \IN [/mm] , so gilt also $||x-y||>1/n$ nicht für alle y [mm] \in [/mm] A. Somit gibt es ein [mm] y_n [/mm] in A mit
[mm] $||x-y_n|| \le [/mm] 1/n$
Was treibt nun die Folge [mm] (y_n) [/mm] ? Wie kommt die Abgeschlossenheit von A ins Spiel ?
FRED
>
> Grüße
>
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:46 Mo 19.10.2009 | | Autor: | Bodo0686 |
Hallo,
[mm] y_n [/mm] ist beschränkt und nach Bolzano Weierstraß eine konvergente Teilfolge. Die Folge [mm] y_n [/mm] konvergiert gegen y
A ist abgeschlossen genau dann, wenn der Grenzwert jeder konvergenten Folge [mm] (y_n) [/mm] in X mit [mm] y_n \in [/mm] A [mm] \forall [/mm] n [mm] \in \IN [/mm] ebenfalls in A liegt.
Grüße
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:50 Mo 19.10.2009 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
>
> [mm]y_n[/mm] ist beschränkt und nach Bolzano Weierstraß eine
> konvergente Teilfolge. Die Folge [mm]y_n[/mm] konvergiert gegen y
Aua !
Wir hatten: $ [mm] ||x-y_n|| \le [/mm] 1/n $ für jedes n [mm] \in \IN.
[/mm]
Dies bedeutet: [mm] (y_n) [/mm] konvergiert gegen x !!!!!!!!!!
>
> A ist abgeschlossen genau dann, wenn der Grenzwert jeder
> konvergenten Folge [mm](y_n)[/mm] in X mit [mm]y_n \in[/mm] A [mm]\forall[/mm] n [mm]\in \IN[/mm]
> ebenfalls in A liegt.
So , und was bedeutet das für den Grenzwert x der obigen Folge [mm] (y_n) [/mm] ?
FRED
>
> Grüße
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:55 Mo 19.10.2009 | | Autor: | Bodo0686 |
|| x - [mm] y_n [/mm] || [mm] \le \frac{1}{n}.
[/mm]
[mm] (y_n) [/mm] konvergiert gegen x
-> [mm] ||x-y_n|| [/mm] = ||x-x|| = 0 [mm] \le \frac{1}{n} \gdw [/mm] 0*n [mm] \le [/mm] 1 [mm] \gdw [/mm] 0 [mm] \le [/mm] 1
???
|
|
|
| |
|
Hiho,
> || x - [mm]y_n[/mm] || [mm]\le \frac{1}{n}.[/mm]
>
> [mm](y_n)[/mm] konvergiert gegen x
So aus dem Kontext gerissen, stimmt das einfach nicht.
WENN für alle n gilt $|| x - [mm] y_n|| \le \frac{1}{n}$ [/mm] DANN konvergiert [mm] y_n [/mm] gegen x !
> -> [mm]||x-y_n||[/mm] = ||x-x|| = 0 [mm]\le \frac{1}{n} \gdw[/mm] 0*n [mm]\le[/mm] 1
> [mm]\gdw[/mm] 0 [mm]\le[/mm] 1
1. Das erste Gleichheitszeichen stimmt schonmal nur, wenn [mm] y_n [/mm] die konstante x-Folge ist!
2. Wer sagt dir, dass du den Grenzwert in die Metrik reinziehen darfst? Pauschal geht das gar nicht
3. Wozu machst du das überhaupt?
Ich ordne dir mal dein Wissen:
1. Annahme, es gäbe kein solches d, wie in der Aufgabe vermutet, DANN würde gelten:
Für alle n gilt $|| x - [mm] y_n|| \le \frac{1}{n}$
[/mm]
2. Daraus folgt [mm] y_n [/mm] konvergiert gegen x!
3. A ist abgeschlossen genau dann, wenn der Grenzwert jeder konvergenten Folge $ [mm] (y_n) [/mm] $ in X mit $ [mm] y_n \in [/mm] $ A $ [mm] \forall [/mm] $ n $ [mm] \in \IN [/mm] $ ebenfalls in A liegt.
Was kannst du nun aus diesem 3 Dingen schlußfolgern, wieso ist das ein Widerspruch, was muss dann also gelten?
>
> ???
Und nein, 3 Minuten reichen nicht, um eine von fred gegebene Antwort zu verstehen, zu bearbeiten und dann wieder hier zu posten.
Mache dir also nach einer Antwort bitte ERST Gedanken, wie und ob dir das weiterhilft, probiere dann bei dir und poste erst DANN, wenn du nicht mehr weiterkommst.....
MFG,
Gono.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:33 Mo 19.10.2009 | | Autor: | Bodo0686 |
Hallo,
also wenn [mm] (y_n) [/mm] gegen x konvergiert, dann muss x(x ist Grenzwert) in A liegen. Dies tut es aber nach Voraussetzung ja nicht. Damit ist doch schon ein Widerspruch sichergestellt, oder?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:38 Mo 19.10.2009 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
>
> also wenn [mm](y_n)[/mm] gegen x konvergiert, dann muss x(x ist
> Grenzwert) in A liegen. Dies tut es aber nach Voraussetzung
> ja nicht. Damit ist doch schon ein Widerspruch
> sichergestellt, oder?
Bingo !
FRED
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:01 Mo 19.10.2009 | | Autor: | Bodo0686 |
Ok, danke! Das habe ich jetzt verstanden.
Wenn ich jetzt habe:
Es sei A [mm] \subset \IR^n [/mm] abgeschlossen, K [mm] \subset \IR^n [/mm] kompakt; A und K seinen disjunkt. Z.Z. Es gibt ein d >0, so dass für alle x [mm] \in [/mm] A und [mm] y\in [/mm] K gilt [mm] ||x-y||\ge [/mm] d.
Annahme, es ex kein d >0. Sei [mm] n\in \IN, [/mm] so gilt d(x,y):=||x-y|| > [mm] \frac{1}{n} [/mm] für nicht alle x [mm] \in [/mm] A und nicht y [mm] \in [/mm] K.. Somit ex ein [mm] x_n \in [/mm] A und [mm] y_n \in [/mm] K mit || [mm] x_n [/mm] - [mm] y_n|| \le \frac{1}{n}, n\in \IN. [/mm] A ist abgeschlossen, genau dann wenn jeder Grenzwert jeder konvergenten Folge [mm] (x_n) [/mm] in X mit [mm] x_n \in [/mm] A [mm] \forall n\in \IN [/mm] ebenfalls in A liegt. K ist kompakt, dass heißt K ist beschränkt und abgeschlossen. Für die abgeschlossenheit gilt nun: K ist abgeschlossen, genau dann wenn jeder Grenzwert jeder konvergenten [mm] Folge(y_n) [/mm] in Y mit [mm] y_n \in [/mm] K [mm] \forall [/mm] n [mm] \in \IN [/mm] ebenfalls in K liegt.
Ist dies soweit richtig? (Beschränktheit folgt)
Grüße
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:04 Mo 19.10.2009 | | Autor: | fred97 |
Die kompaktheit von K solltest Du so ausnutzen:
die Folge [mm] (y_n) [/mm] enthält eine konvergente Teilfolge, deren Grenzwert wieder zu K gehört
FRED
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:36 Mo 19.10.2009 | | Autor: | Bodo0686 |
Die abgeschlossenheit für A ist ja damit gegeben, ebenso für K. Liegt der Widerspruch hier in der Beschränktheit? Laut Bolzano Weierst. enthält eine BESCHRÄNKTE Folge im [mm] \IR^\n [/mm] eine konvergente Teilfolge.
Hier konvergiert im Fall x [mm] \in [/mm] A [mm] (x_n) [/mm] -> x und y [mm] \in [/mm] K [mm] (y_n) [/mm] -> y.
Damit wären die Grenzwerte vorhanden. Für die abgeschlossenheit für Fall A wäre das für alle x [mm] \in [/mm] A erledigt. Für Fall K wäre das für y [mm] \in [/mm] K auch erledigt, aber durch die Eigenschaft der Kompaktheit (abgeschlossen -> OK, und beschränktheit) würde hier ein Widerspruch entstehen -aufgrund der beschränkheit die nicht vorhanden ist!?
Richtig?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:10 Mo 19.10.2009 | | Autor: | fred97 |
Setzt Du das eigentlich um, was man Dir rät ?
Wir haben: eine Folge [mm] (x_n) [/mm] in A, eine Folge [mm] (y_n) [/mm] in K und [mm] $||x_n-y_n|| \le1/n$ [/mm] für jedes n [mm] \in \IN
[/mm]
Da K kompakt ist enthält [mm] (y_n) [/mm] eine konvergente Teilfolge [mm] (y_{n_k}), [/mm] deren Limes [mm] y_0 [/mm] zu K gehört
Nun ist
[mm] $||x_{n_k}-y_0|| [/mm] = [mm] ||x_{n_k}-y_{n_k}+y_{n_k}-y_0|| \le ||x_{n_k}-y_{n_k}||+ ||y_{n_k}-y_0|| \le \bruch{1}{n_k}+ ||y_{n_k}-y_0|| [/mm] $,
daher konvergiert auch [mm] (x_{n_k}) [/mm] gegen [mm] y_0
[/mm]
Da A abgeschlossen ist, folgt: [mm] y_0 \in [/mm] A
Also sind A und K doch nicht disjunkt, Widerspruch !
FRED
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:24 Mo 19.10.2009 | | Autor: | Bodo0686 |
stimmt, die kompaktheit liefert doch gerade die beschränktheit. das war wohl dann eher mist, was ich geschrieben habe...
grüße
|
|
|
|
