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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:42 Sa 16.12.2006 | | Autor: | Knuffy |
| Aufgabe | | [Dateianhang nicht öffentlich] |
An den beiden Aufgaben verzweifel ich
bei 2) soll man ja zeigen dass [mm] $U_{\delta}(y_{0})\subset U_{\varepsilon}(x_{0})$
[/mm]
beim ansatz scheiter ich schon.
die "verschärfte" dreiecksungleichung muss man dabei bestimmt auch irgendwie miteinbeziehen. nur die frage ist was dass Z dabei ist?
bei 3) weiß ich auch nich wirklich was ich machen soll. :(
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 3 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:50 Sa 16.12.2006 | | Autor: | ullim |
Hi,
ich schlage vor, einen Wiederspruchsbeweis zu führen.
Nehme mal an, es gibt ein [mm] y\in U_\delta(y_0) [/mm] das nicht in [mm] U_\epsilon(x_0) [/mm] liegt. Da nach Voraussetrzung die Schnittmenge von
[mm] U_\delta(y_0) [/mm] und [mm] U_\epsilon(x_0) [/mm] ungleich der leeren Menge ist, gibt es ein z aus dieser Schnittmenge.
Für das y und dieses z gilt dann
[mm] \epsilon\le d(x_0,y)\le max(d(x_0,z),d(z,y)) [/mm] weil
[mm] d(x_0,z)<\epsilon [/mm] und
[mm] d(z,y)\le max(d(z,y_0),d(y_0,y))<\delta<\epsilon [/mm] gilt, folgt
[mm] \epsilon\le d(x_0,y)\le max(d(x_0,z),d(z,y))<\epsilon [/mm] was ein Wiederspruch ist, also gilt
[mm] U_\delta(y_0) \subset U_\epsilon(x_0)
[/mm]
mfg ullim
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:14 So 17.12.2006 | | Autor: | Knuffy |
ich hab mir mal ein bilchen gemalt und daran dein beweis nachvollzogen. war ja doch nicht so schwer wie ich anfangs dachte :)
aufgabe 3 habe ich immer noch nicht gelöst.
zu 3a) ist [mm] $v_{3}(a)$ [/mm] der höchste exponent der zahl a zur basis 3?
zb a=9 [mm] \Rightarrow $v_{3}(9)=2$ [/mm] ,da [mm] $3^{2}=9$
[/mm]
zb a=10 [mm] \Rightarrow $v_{3}(10)=2$ [/mm] ,da [mm] $3^{2}+3^{0}=10$
[/mm]
zu 3b) dass [mm] $|a+b|\le|a|+|b|$ [/mm] stimmt kann man sich ja denken. ich hab mir überlegt dass man entweder eine fallunterscheidung macht also $|a+b|=|a|+|b|$ und $|a+b|<|a|+|b|$
oder man macht einen widerspruchsbeweis d.h $|a+b|>|a|+|b|$. leider kriege ich dass ganze nich wirklich umgeformt. :/
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:07 So 17.12.2006 | | Autor: | SEcki |
> zu 3a) ist [mm]v_{3}(a)[/mm] der höchste exponent der zahl a zur
> basis 3?
Häh?
> zb a=9 [mm]\Rightarrow[/mm] [mm]v_{3}(9)=2[/mm] ,da [mm]3^{2}=9[/mm]
> zb a=10 [mm]\Rightarrow[/mm] [mm]v_{3}(10)=2[/mm] ,da [mm]3^{2}+3^{0}=10[/mm]
Also die Beispiele stimmen ... und für die Zahlen, die dort im 3er System stehen? (das ist ganz einfach, das abzulesen - durch 3 teilen heißt hier nämlich was? Erkennst du ein System?)
> zu 3b) dass [mm]|a+b|\le|a|+|b|[/mm] stimmt kann man sich ja denken.
Aha, und zwar weil?
> ich hab mir überlegt dass man entweder eine
> fallunterscheidung macht also [mm]|a+b|=|a|+|b|[/mm] und
> [mm]|a+b|<|a|+|b|[/mm]
> oder man macht einen widerspruchsbeweis d.h
> [mm]|a+b|>|a|+|b|[/mm].
Irgendwie seh ich da keine Beweisidee, was du in dem Fall denn genau machen mußt.
> leider kriege ich dass ganze nich wirklich
> umgeformt. :/
Beweise doch mal [m]v_3(a+b)\ge min\{v_3(a),v_3(b)\}[/m].
Und: bitte das nächste mal die Aufgaben auch abschreiben und nicht nur scannen, das macht alles etwas einfacher - für uns.
SEcki
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:09 So 17.12.2006 | | Autor: | Knuffy |
also bei 3a) habe ich folgende Formeln benutzt:
[mm] $c=\bruch{a}{3^{\alpha}}$ [/mm] wobei [mm] $c\in\IZ$
[/mm]
und [mm] |a|_{3}=3^{-v_{3}(a)}
[/mm]
und folgendes hereausbekommen:
[mm] $v_{3}(2)=0 [/mm] $
[mm] $\Rightarrow |2|_{3}=3^{0}=1$
[/mm]
[mm] $v_{3}(210)=1 [/mm] $
[mm] $\Rightarrow |210|_{3}=3^{-1}=\bruch{1}{3}$
[/mm]
[mm] $v_{3}(20200)=0 [/mm] $
[mm] $\Rightarrow |20200|_{3}=3^{0}=1$
[/mm]
[mm] $v_{3}(11000)=0$ [/mm]
[mm] $\Rightarrow |11000|_{3}=3^{0}=1$
[/mm]
ist das so richtig?
zu 3b) wie bist du denn auf $ [mm] v_3(a+b)\ge min\{v_3(a),v_3(b)\} [/mm] $ gekommen?
bei 3c) komme ich leider auch nicht weiter :/
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:27 Mo 18.12.2006 | | Autor: | Knuffy |
ich hab vergessen die zahlen zur basis 3 in zahlen zur basis 10 umzuwandeln und dann zu gucken wie oft man sie durch 3 teilen kann, ohne einen bruch zu erhalten.
also:
2=2
210=21
20200=180
11000=108
$ [mm] v_{3}(2)=0 [/mm] $
[mm] $|2|_{3}=3^{0}=1 [/mm] $
$ [mm] v_{3}(21)=1 [/mm] $
[mm] $|21|_{3}=3^{-1}=\bruch{1}{3} [/mm] $
$ [mm] v_{3}(180)=2 [/mm] $
[mm] $|180|_{3}=3^{-2}=\bruch{1}{9} [/mm] $
$ [mm] v_{3}(108)=3 [/mm] $
[mm] $|108|_{3}=3^{-3}=\bruch{1}{27} [/mm] $
ist das so richtig?
bei 3b und 3c bin ich immer noch ratlos
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:45 Mo 18.12.2006 | | Autor: | SEcki |
> ich hab vergessen die zahlen zur basis 3 in zahlen zur
> basis 10 umzuwandeln und dann zu gucken wie oft man sie
> durch 3 teilen kann, ohne einen bruch zu erhalten.
Fällt dir vielleicht ein Zusammenhnag zu den 0ern in der 3er Darstellung auf?
SEcki
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:49 Mo 18.12.2006 | | Autor: | SEcki |
> ist das so richtig?
Nein, hast du aber schon selber korrigiert. 
> zu 3b) wie bist du denn auf [mm]v_3(a+b)\ge min\{v_3(a),v_3(b)\}[/mm]
> gekommen?
Falls ich a und b durch etwas teilen kann, dann auch deren Summe.
> bei 3c) komme ich leider auch nicht weiter :/
Was muss denn für eine Metrik alles zeigen? Das folgt dann alles sosfort aus der Definiton und der Aufgabe b)
SEcki
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:05 Mo 18.12.2006 | | Autor: | Knuffy |
> Fällt dir vielleicht ein Zusammenhnag zu den 0ern in der
> 3er Darstellung auf?
Stimmt, man könnte die Lösung direkt an der Anzahl der aufeinander folgenden Nullen am Anfang ablesen.
hab mittlerweile 3b und 3c auch hinbekommen. danke für deine hilfe SEcki :)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 02:01 Mo 18.12.2006 | | Autor: | Knuffy |
ich hab noch ne frage zu dem beweis.
du sagst ja dass
$ [mm] d(z,y)\le max(d(z,y_0),d(y_0,y))<\delta<\epsilon [/mm] $
den zwischenschritt [mm] $max(d(z,y_0),d(y_0,y))$ [/mm] brauch man doch nicht oder?
außerdem weiß man doch garnicht, dass
[mm] $max(d(z,y_0),d(y_0,y))<\delta$
[/mm]
Gruß Knuffy
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:48 Mo 18.12.2006 | | Autor: | ullim |
Hi,
> ich hab noch ne frage zu dem beweis.
>
> du sagst ja dass
> [mm]d(z,y)\le max(d(z,y_0),d(y_0,y))<\delta<\epsilon[/mm]
>
> den zwischenschritt [mm]max(d(z,y_0),d(y_0,y))[/mm] brauch man doch
> nicht oder?
>
Ich denke schon, denn der Abstand zwischen z und y ist ja normalerweise nicht kleiner als [mm] \delta [/mm] sonder nur kleiner als [mm] 2\delta. [/mm] Der Abstand zwischen [mm] y_0 [/mm] und z ist aber kleiner als [mm] \delta.
[/mm]
> außerdem weiß man doch garnicht, dass
> [mm]max(d(z,y_0),d(y_0,y))<\delta[/mm]
>
Auch hier meine ich, dass man das weiss, denn es gilt
[mm] d(z,y_0)<\delta [/mm] weil z und [mm] y_0 [/mm] in [mm] U_{\delta}(y_0) [/mm] liegen.
Ebenso gilt [mm] d(y_0,y)<\delta [/mm] aus dem gleichen Grund.
Also ist auch das Maximum der beiden Werte kleiner als [mm] \delta.
[/mm]
> Gruß Knuffy
mfg ullim
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:55 Mo 18.12.2006 | | Autor: | Knuffy |
> Ich denke schon, denn der Abstand zwischen z und y ist ja
> normalerweise nicht kleiner als [mm]\delta[/mm] sonder nur kleiner
> als [mm]2\delta.[/mm] Der Abstand zwischen [mm]y_0[/mm] und z ist aber
> kleiner als [mm]\delta.[/mm]
stimmt der abstand zwischen z und y könnte ja auch größer als [mm] $\delta$ [/mm] sein.
> Auch hier meine ich, dass man das weiss, denn es gilt
>
> [mm]d(z,y_0)<\delta[/mm] weil z und [mm]y_0[/mm] in [mm]U_{\delta}(y_0)[/mm] liegen.
>
> Ebenso gilt [mm]d(y_0,y)<\delta[/mm] aus dem gleichen Grund.
>
> Also ist auch das Maximum der beiden Werte kleiner als
> [mm]\delta.[/mm]
dass $ [mm] d(z,y_0)<\delta [/mm] $ und $ [mm] d(y_0,y)<\delta [/mm] $ ist ja klar, aber
$ [mm] max(d(z,y_0),d(y_0,y))<\delta [/mm] $ heißt doch dass die beiden abstände maximal werden und zusammenaddiert größer sind als [mm] $\delta [/mm] $ oder nicht :/? ich glaub das mit dem max und min hab ich noch nicht wirklich verstanden :(
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:19 Mo 18.12.2006 | | Autor: | ullim |
Hi,
> > Ich denke schon, denn der Abstand zwischen z und y ist ja
> > normalerweise nicht kleiner als [mm]\delta[/mm] sonder nur kleiner
> > als [mm]2\delta.[/mm] Der Abstand zwischen [mm]y_0[/mm] und z ist aber
> > kleiner als [mm]\delta.[/mm]
>
> stimmt der abstand zwischen z und y könnte ja auch größer
> als [mm]\delta[/mm] sein.
>
>
>
> > Auch hier meine ich, dass man das weiss, denn es gilt
> >
> > [mm]d(z,y_0)<\delta[/mm] weil z und [mm]y_0[/mm] in [mm]U_{\delta}(y_0)[/mm] liegen.
> >
> > Ebenso gilt [mm]d(y_0,y)<\delta[/mm] aus dem gleichen Grund.
> >
> > Also ist auch das Maximum der beiden Werte kleiner als
> > [mm]\delta.[/mm]
>
> dass [mm]d(z,y_0)<\delta[/mm] und [mm]d(y_0,y)<\delta[/mm] ist ja klar, aber
> [mm]max(d(z,y_0),d(y_0,y))<\delta[/mm] heißt doch dass die beiden
> abstände maximal werden und zusammenaddiert größer sind als
> [mm]\delta[/mm] oder nicht :/? ich glaub das mit dem max und min
> hab ich noch nicht wirklich verstanden :(
[mm] max(d(z,y_0),d(y_0,y)) [/mm] bedeutet, ich wähle den größten Wert von [mm] d(z,y_0) [/mm] und [mm] d(y_0,y) [/mm] aus. Da beide Werte kleiner als [mm] \delta [/mm] sind, ist auch der größte Wert kleiner als [mm] \delta. [/mm] Also ist [mm] max(d(z,y_0),d(y_0,y))<\delta
[/mm]
mfg ullim
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:58 Mo 18.12.2006 | | Autor: | Knuffy |
nach deiner definition macht dass natürlich sinn dass $ [mm] max(d(z,y_0),d(y_0,y))<\delta [/mm] $ ist.
ich dachte mit der dreiecksungleichung ist gemeint, dass der direkte weg von x nach y kürzer ist (geringerer abstand) als der Umweg über z.
danke für deinen beweis und den verständlichen erklärungen dazu. :)
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