Messbarkeit zeigen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Zeigen Sie:
1.) [mm] $f\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}, x\longmapsto \chi_{[1,\infty)}(x)\frac{1}{x}$ [/mm] ist messbar
2.) [mm] $g\colon [1,\infty)\to\mathbb{R}, x\longmapsto\frac{1}{x}$ [/mm] ist messbar |
Grüße euch, liebe Mathefreunde 
Ich nehme mal an, bei der Funktion $f$ ist [mm] $\mathcal{B}(\mathbb{R})\setminus\mathcal{B}(\mathbb{R})$ [/mm] - Meßbarkeit gemeint und bei der Funktion $g$ meint man [mm] $\mathcal{D}\setminus\mathcal{B}(\mathbb{R})$ [/mm] - Meßbarkeit, wobei ich mit [mm] $\mathcal{D}$ [/mm] die Spur von [mm] $\mathcal{B}(\mathbb{R})$ [/mm] in [mm] $[1,\infty)$ [/mm] meine, also [mm] $\mathcal{D}=\left\{B\subseteq [1,\infty): B\in\mathcal{B}(\mathbb{R})\right\}$.
[/mm]
Sehe ich das richtig?
Zu 1.)
Für alle [mm] $r\in\mathbb{R}$ [/mm] gilt
[mm] $f^{-1}((-\infty,r])=\begin{cases}\mathbb{R}, & r\geq 1\\ \emptyset, & r<0\\ [1/r,\infty), & 0
und dies sind alle Borelmengen, also ist $f$ meßbar im obigen Sinn.
Zu 2.) (sehr ähnlich)
[mm] $\forall r\in\mathbb{R}$:
[/mm]
[mm] $g^{-1}((-\infty,r])=\begin{cases}[1,\infty), & r\geq 1\\ \emptyset, & r\leq 0\\ [1/r,\infty), & 0
und das sind alles Mengen in [mm] $\mathcal{D}$, [/mm] also ist $g$ meßbar in dem Sinne, wie ich es oben beschrieben habe.
Schön, wenn ich eine Reaktion bekäme.
Schöne Grüße
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:08 Sa 14.09.2013 | | Autor: | fred97 |
> Zeigen Sie:
>
> 1.) [mm]f\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}, x\longmapsto \chi_{[1,\infty)}(x)\frac{1}{x}[/mm]
> ist messbar
>
> 2.) [mm]g\colon [1,\infty)\to\mathbb{R}, x\longmapsto\frac{1}{x}[/mm]
> ist messbar
> Grüße euch, liebe Mathefreunde
>
> Ich nehme mal an, bei der Funktion [mm]f[/mm] ist
> [mm]\mathcal{B}(\mathbb{R})\setminus\mathcal{B}(\mathbb{R})[/mm] -
> Meßbarkeit gemeint und bei der Funktion [mm]g[/mm] meint man
> [mm]\mathcal{D}\setminus\mathcal{B}(\mathbb{R})[/mm] - Meßbarkeit,
> wobei ich mit [mm]\mathcal{D}[/mm] die Spur von
> [mm]\mathcal{B}(\mathbb{R})[/mm] in [mm][1,\infty)[/mm] meine, also
> [mm]\mathcal{D}=\left\{B\subseteq [1,\infty): B\in\mathcal{B}(\mathbb{R})\right\}[/mm].
>
> Sehe ich das richtig?
>
>
> Zu 1.)
>
> Für alle [mm]r\in\mathbb{R}[/mm] gilt
>
> [mm]f^{-1}((-\infty,r])=\begin{cases}\mathbb{R}, & r\geq 1\\ \emptyset, & r<0\\ [1/r,\infty), & 0
>
> und dies sind alle Borelmengen, also ist [mm]f[/mm] meßbar im
> obigen Sinn.
>
>
> Zu 2.) (sehr ähnlich)
>
> [mm]\forall r\in\mathbb{R}[/mm]:
>
> [mm]g^{-1}((-\infty,r])=\begin{cases}[1,\infty), & r\geq 1\\ \emptyset, & r\leq 0\\ [1/r,\infty), & 0
>
> und das sind alles Mengen in [mm]\mathcal{D}[/mm], also ist [mm]g[/mm]
> meßbar in dem Sinne, wie ich es oben beschrieben habe.
>
>
>
> Schön, wenn ich eine Reaktion bekäme.
Alles bestens
FRED
>
>
>
> Schöne Grüße
>
>
>
>
|
|
|
| |
|
Hallo, fred97. Schönen Dank für dein Feedback.
Ich freue mich, dass ich alles richtig gemacht habe.
Ein schönes WE noch!
|
|
|
|
