Messbarkeit von Funktion < Maßtheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:14 Mo 02.02.2009 | | Autor: | shoggi |
| Aufgabe | Zeigen Sie, dass die Funktion
f: [mm] \mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}, \quad f(x)=\begin{cases} x^2, & \mbox{falls } x\neq\mbox{0} \\ 5, & \mbox{falls } x= \mbox{0} \end{cases}
[/mm]
messbar ist. |
Hallo, ich bin gerade dabei eine Klausur über Masstheorie und Integrationstheorie vorzubereiten. Bei der oben gestellten Frage handelt es sich um eine alte Prüfungsaufgabe.
Meine Idee war folgende: Man nehme (X,M) ein messbarer Raum, [mm] (Y,\tau_Y) [/mm] ein topologischer Raum und [mm] f:X\rightarrow [/mm] Y eine Funktion mit f(X)=Y und [mm] Y=\bar{\mathbb{R}} [/mm] und zeige dann folgende implikation:
[mm] \forall a\in \mathbb{R}:\,f^{-1}((a,\infty])\in\,M\Rightarrow f\, [/mm] messbar
leider habe ich keinen schimmer ob ich hier auf dem richtigen Weg bin und, wenn ja, wie man so etwas zeigt.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
vielen Dank schon im Voraus
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 03:08 Di 03.02.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo
> Zeigen Sie, dass die Funktion
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> f: [mm]\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}, \quad f(x)=\begin{cases} x^2, & \mbox{falls } x\neq\mbox{0} \\ 5, & \mbox{falls } x= \mbox{0} \end{cases}[/mm]
>
> messbar ist.
Wenn du weisst, dass $g(x) = [mm] x^2$ [/mm] messbar ist, dann geh doch wie folgt vor:
Sei $M [mm] \subseteq \IR$ [/mm] eine messbare Menge. Du musst ja zeigen, dass [mm] $f^{-1}(M)$ [/mm] messbar ist.
Betrachte doch mal [mm] $g^{-1}(M \setminus \{ 0 \})$. [/mm] Kannst du damit [mm] $f^{-1}(M)$ [/mm] beschreiben? (Mach ruhig eine Fallunterscheidung: $0 [mm] \in [/mm] M$ oder $0 [mm] \not\in [/mm] M$.)
> Hallo, ich bin gerade dabei eine Klausur über Masstheorie
> und Integrationstheorie vorzubereiten. Bei der oben
> gestellten Frage handelt es sich um eine alte
> Prüfungsaufgabe.
> Meine Idee war folgende: Man nehme (X,M) ein messbarer
> Raum, [mm](Y,\tau_Y)[/mm] ein topologischer Raum und [mm]f:X\rightarrow[/mm]
> Y eine Funktion mit f(X)=Y und [mm]Y=\bar{\mathbb{R}}[/mm] und zeige
> dann folgende implikation:
>
> [mm]\forall a\in \mathbb{R}:\,f^{-1}((a,\infty])\in\,M\Rightarrow f\,[/mm]
> messbar
Willst du das zeigen? Oder hast du das schon? Wenn ersteres, das ist fuer diese Aufgabe zu kompliziert. Im zweiteren Fall schau dir doch mal [mm] $f^{-1}((a, \infty])$ [/mm] an. Kannst du die Menge in Abhaengigkeit von $a$ beschreiben? (Du darfst ruhig Fallunterscheidungen machen.)
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:34 Mi 04.02.2009 | | Autor: | shoggi |
Hallo, und danke für die schnelle Antwort.
Leider habe ich witerhin Probleme die Aufgabe richtig zu lösen. Bisher hatten wir es eigentlich immer mit Funktionen zu tun die monoton und stetig waren, und somit war es relativ leicht ihre Messbarkeit zu zeigen...
Wenn ich [mm] g^{-1}(M\backslash{\{0\}}) [/mm] nehme, und [mm] M=\mathbb{R}^+, [/mm] dann erhalte ich nicht nur die Elemente von f(x), sondern auch elemente aus [mm] \mathbb{Q} [/mm] wie z.B. [mm] \sqrt{2}, [/mm] die sind ja dann nicht in [mm] \mathbb{R}... [/mm] weiterhin verstehe ich nicht wie ich eine Fallunterscheidung vornehmen kann?
Gruss Joel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:58 Do 05.02.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo Joel
> Hallo, und danke für die schnelle Antwort.
> Leider habe ich witerhin Probleme die Aufgabe richtig zu
> lösen. Bisher hatten wir es eigentlich immer mit Funktionen
> zu tun die monoton und stetig waren, und somit war es
> relativ leicht ihre Messbarkeit zu zeigen...
>
> Wenn ich [mm]g^{-1}(M\backslash{\{0\}})[/mm] nehme, und
> [mm]M=\mathbb{R}^+,[/mm] dann erhalte ich nicht nur die Elemente von
> f(x), sondern auch elemente aus [mm]\mathbb{Q}[/mm] wie z.B.
> [mm]\sqrt{2},[/mm] die sind ja dann nicht in [mm]\mathbb{R}...[/mm] weiterhin
> verstehe ich nicht wie ich eine Fallunterscheidung
> vornehmen kann?
Kann es sein, dass dir nicht ganz klar sind, was [mm] $\IQ$ [/mm] und [mm] $\IR$ [/mm] sind? [mm] $\sqrt{2}$ [/mm] ist definitiv ein Element von [mm] $\IR$, [/mm] und keins von [mm] $\IQ$: $\IQ$ [/mm] ist eine echte Teilmenge von [mm] $\IR$.
[/mm]
Ausserdem brauchst du gar nicht so konkret mit Zahlen rumzuhantieren.
Mach das ganze doch mal abstrakter:
Du hast eine messbare Menge $M [mm] \subseteq \IR$ [/mm] und zwei messbare Funktion [mm] $g_1, g_2 [/mm] : [mm] \IR \to \IR$. [/mm] Daraus kannst du jetzt eine Funktion $f : [mm] \IR \to \IR$, [/mm] $x [mm] \mapsto \begin{cases} g_1(x) & \text{wenn } x \in M, \\ g_2(x) & \text{sonst} \end{cases}$ [/mm] machen. Zeige, dass $f$ auch messbar ist.
Ueberleg dir mal, wie du diese, abstraktere Aufgabe loesen wuerdest.
(Hast du zumindest eine Idee, wie du $M$, [mm] $g_1$ [/mm] und [mm] $g_2$ [/mm] waehlen kanns damit deine Funktion fuer $f$ rauskommt?)
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:55 Do 05.02.2009 | | Autor: | shoggi |
Ich Esel habe in der Hitze des Gefechts tatsächlich [mm] \mathbb{R} [/mm] und [mm] \mathbb{Q} [/mm] vertauscht... Danke für den Hinweis!!
Hier jetzt ein Lösungsversuch:
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Es sei a [mm] \in \mathbb{R}. [/mm] Z.Z.: [mm] f^{-1}((a,\infty]) [/mm] ist eine Borelmenge (da def.Bereich [mm] \mathbb{R})
[/mm]
Fall1: [mm] a\geq5
[/mm]
[mm] f^{-1}((a,\infty])=(-\infty,\sqrt{-a})\cup(\sqrt{a},\infty), [/mm] somit Borelmenge und Messbar
Fall2: 0<a<5
[mm] f^{-1}((a,\infty])=(-\infty,\sqrt{-a})\cup(\sqrt{a},\infty)\cup\{5\}, [/mm] somit Borelmenge und Messbar
Fall3: [mm] a\leq [/mm] 0
[mm] f^{-1}((a,\infty])=\mathbb{R}, [/mm] ist messbar
[mm] \Rightarrow [/mm] f ist Messbar
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vielen Dank für die Hilfe!!! Kann mir zum Schluss noch jemand sagen ob das so korrekt ist?
Gruss
Joel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:55 Do 05.02.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo
> Hier jetzt ein Lösungsversuch:
>
> -------------------------------------------------------------------------------------------------------------
> Es sei a [mm]\in \mathbb{R}.[/mm] Z.Z.: [mm]f^{-1}((a,\infty])[/mm] ist eine
> Borelmenge (da def.Bereich [mm]\mathbb{R})[/mm]
>
> Fall1: [mm]a\geq5[/mm]
>
> [mm]f^{-1}((a,\infty])=(-\infty,\sqrt{-a})\cup(\sqrt{a},\infty),[/mm]
> somit Borelmenge und Messbar
>
> Fall2: 0<a<5
>
> [mm]f^{-1}((a,\infty])=(-\infty,\sqrt{-a})\cup(\sqrt{a},\infty)\cup\{5\},[/mm]
> somit Borelmenge und Messbar
>
> Fall3: [mm]a\leq[/mm] 0
> [mm]f^{-1}((a,\infty])=\mathbb{R},[/mm] ist messbar
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] f ist Messbar
>
> -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
>
> vielen Dank für die Hilfe!!!
Bitte!
> Kann mir zum Schluss noch
> jemand sagen ob das so korrekt ist?
Ja, das stimmt so.
LG Felix
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