www.vorhilfe.de
- Förderverein -
Der Förderverein.

Gemeinnütziger Verein zur Finanzierung des Projekts Vorhilfe.de.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Mitglieder · Impressum
Navigation
 Startseite...
 Suchen
 Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status VH e.V.
  Status Vereinsforum

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
Forum "Maßtheorie" - Messbarkeit Komposition
Messbarkeit Komposition < Maßtheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Maßtheorie"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Messbarkeit Komposition: Tipp, Korrektur
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:23 Di 23.06.2020
Autor: TS85

Aufgabe
Sei X eine nicht-leere Menge, [mm] (Y,\mathcal{B}) [/mm] ein m.b. Raum und [mm] T:X\to [/mm] Y eine Abbildung. Weiter sei
[mm] \mathcal{A}_T:=T^{-1}(\mathcal{B})=\{T^{-1}:B \in \mathcal{B}\} [/mm]
die von T erzeugte [mm] \sigma-Algebra [/mm] über X. Zeigen Sie, dass eine nicht-negative Funktion f:X [mm] \to \IR_+ [/mm] genau dann [mm] \mathcal{A}_T-messbar [/mm] ist, wenn eine [mm] \mathcal{B}-m.b. [/mm] Funktion g:Y [mm] \to \IR_+ [/mm] existiert mit
f= [mm] g\circ [/mm] T

Vorweg: Ich gehe hier von einer [mm] \mathcal{A}_T-\mathcal{B}-Messbarkeit [/mm] aus.

[mm] "\Rightarrow": [/mm]
Ist f m.b., dann [mm] f^{-1}(B)=(g \circ T)^{-1}(B) [/mm] = [mm] g^{-1}(T^{-1}(B)) \in \mathcal{A}_T \forall [/mm] B [mm] \in \mathcal{B}, [/mm]
da T und g nach Voraussetzung [mm] \mathcal{A}_T [/mm] messbar. (wobei die Reihenfolge der Verkettung eigentlich nicht passt)


[mm] "\Leftarrow": [/mm]
Für B [mm] \in \mathcal{B} [/mm] ist [mm] T^{-1}(B)\in [/mm] X.
[mm] (\underbrace{g \circ T}_{f})^{-1}(B)=T^{-1}(\underbrace{g^{-1}(B)}_{\mathcal{B} m.b.}) \in [/mm] X

Ich frage nach, da mir der Beweis in Verbindung mit der Komposition nicht so ganz klar ist. Hat denn der Teil "nicht-negative Funktion" eine bestimmte Bedeutung oder ist unerheblich?

Na dann hoffe ich mal, dass meine Gebete erhört werden^^

        
Bezug
Messbarkeit Komposition: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:19 Di 23.06.2020
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

>  Vorweg: Ich gehe hier von einer [mm]\mathcal{A}_T-\mathcal{B}[/mm]-Messbarkeit aus.

Das ist unglücklich formuliert.
[mm] $\mathcal{B}$ [/mm] heißt ja (hier) die [mm] $\sigma$-Algebra [/mm] auf $Y$.
$f$ ist aber eine Abbildung von $X [mm] \to \IR_+$, [/mm] d.h. welche [mm] $\sigma$-Algebra [/mm] betrachtest du auf [mm] $\IR_+$? [/mm]
Normalerweise würde man dort die Borelsche-Sigma-Algebra betrachten, die man normalerweise mit [mm] $\mathcal{B}$ [/mm] bezeichet. Der Buchstabe ist hier aber schon vergeben… du solltest also die Bezeichnungen etwas klarer wählen…

> [mm]"\Rightarrow":[/mm]
>  Ist f m.b., dann [mm]f^{-1}(B)=(g \circ T)^{-1}(B)[/mm]

[notok]
Du hast als Voraussetzung: $f$ ist meßbar und nichtnegativ.
Die Existenz eines meßbaren $g: Y [mm] \to \IR_+$ [/mm] mit $f = [mm] g\circ [/mm] T$ ist hier erst zu zeigen.

Was weißt du denn über meßbare, nichtnegative Funktionen?

> [mm]"\Leftarrow":[/mm]
>  Für B [mm]\in \mathcal{B}[/mm] ist [mm]T^{-1}(B)\in[/mm] X.

Nein, [mm] $\in \mathcal{A}_T$. [/mm]

>  [mm](\underbrace{g \circ T}_{f})^{-1}(B)=T^{-1}(\underbrace{g^{-1}(B)}_{\mathcal{B} m.b.}) \in[/mm] X

Auch hier: [mm] $\in \mathcal{A}_T$ [/mm]
Sonst passt es.

>  
> Ich frage nach, da mir der Beweis in Verbindung mit der
> Komposition nicht so ganz klar ist. Hat denn der Teil
> "nicht-negative Funktion" eine bestimmte Bedeutung oder ist
> unerheblich?

Für die Rückrichtung ist das egal, das ist aber auch der einfache Teil.

Gruß,
Gono

Bezug
                
Bezug
Messbarkeit Komposition: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:35 Mi 24.06.2020
Autor: TS85

Es muss also wieder wie bei [mm] "\Leftarrow" [/mm] die gleiche Verkettungsauflösung verwendet werden damit es zusammenpasst, nur ist die [mm] \mathcal{B}-Messbarkeit [/mm] von g nicht voraussetzbar.

[mm] \mathcal{B}-Messbarkeit [/mm] heißt doch hier in diesem Fall, das gilt:
[mm] \forall [/mm] C [mm] \in \IR_+: g^{-1}(C) \in \mathcal{B}. [/mm]

Bekannt ist mir aktuell nur, dass man mithilfe von [mm] \mathcal{A}-messbaren [/mm]  einfachen Funktionen eine nichtnegative Funktion approximieren kann.

Nun müsste allerdings das Urbild [mm] g^{-1}(C) [/mm] mit C [mm] \in \IR_+ [/mm] in den Borelmengen liegen.

Da [mm] \IR_+ [/mm] = [mm] (0,\infty) [/mm] als offenes Intervall auch eine Borelmenge ist,
kann man dann hier bei g von einer [mm] \mathcal{B}-\mathcal{B}-Messbarkeit [/mm] sprechen?
In diesem Fall müsste ich nur noch zeigen können, dass das Urbild der einfachen Funktionen [mm] \in \mathcal{B}, [/mm] d.h. [mm] \mathcal{A}=\mathcal{B} [/mm]

Soweit aktuell mein Kenntnisstand, ob das in die richtige Richtung geht weiß ich leider nicht.. Aufklärung wäre dementsprechend nett.

Bezug
                        
Bezug
Messbarkeit Komposition: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:41 Mi 24.06.2020
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> Es muss also wieder wie bei [mm]"\Leftarrow"[/mm] die gleiche Verkettungsauflösung verwendet werden damit es zusammenpasst, nur ist die [mm]\mathcal{B}-Messbarkeit[/mm] von g nicht voraussetzbar.

Nein, du machst hier den zweiten Schritt vor dem ersten.

Du hast bei [mm] "$\Rightarrow$" [/mm] erst mal nur, dass es eine meßbare Funktion $f: X [mm] \to \IR_+$ [/mm] gibt und eine Funktion $ [mm] T:X\to [/mm]  Y$ mit den gegebenen Eigenschaften.

Wer sagt nun, dass es überhaupt eine Funktion gibt mit $f = g [mm] \circ [/mm] T$?

Mal ein Gegenbeispiel, wo ein solches $g$ gar nicht existiert:
Sei $X = [mm] \IR_+, [/mm] Y = [mm] \{0\}, [/mm] f(x) = x, T [mm] \equiv [/mm] 0$
Dann ist $f: [mm] \IR_+ \to \IR_+$ [/mm] als Identität bijektiv aber für jedes $g: Y [mm] \to \IR_+$ [/mm] ist $(g [mm] \circ [/mm] T)(x) = g(T(x)) = g(0)$ für alle $x [mm] \in [/mm] X$, d.h. $(g [mm] \circ [/mm] T): [mm] \IR_+ \to \IR_+$ [/mm] ist weder injektiv noch surjektiv, d.h. $f [mm] \not= g\circ [/mm] T$ für alle $g$.

Warum ist das trotzdem kein Gegenbeispiel für obigen Satz?
Na das kann dann nur an der vorausgesetzten Meßbarkeit für $f$ liegen.
Zeige also: Obiges $f$  ist nicht [mm] $\mathcal{A}_T$ [/mm] meßbar.
Dafür wirst du [mm] $\mathcal{A}_T$ [/mm]  für obiges T bestimmen müssen…

Es geht also darum, ein passendes [mm] $\mathcal{B}$-meßbares [/mm] $g$ zu konstruieren, so dass $f = [mm] g\circ [/mm] T$ gilt und nach obigem braucht man dazu offensichtlich die Meßbarkeit von $f$.
Wenn du das verstanden hast, machen wir weiter…

Gruß,
Gono


Bezug
                                
Bezug
Messbarkeit Komposition: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 15:23 Mi 24.06.2020
Autor: TS85

Wenn ich [mm] T\equiv0 [/mm] als T(x)=0 interpretiere, müsste [mm] T^{-1}(x)=0 [/mm] sein,
d.h. [mm] \mathcal{A}_T=\{\emptyset,X,\{0\},\{X\setminus\{0\}\}\} [/mm]

Mit f(x)=x (was natürlich bereits ungleich g [mm] \circ [/mm] T ist)
wäre [mm] f^{-1}(y)=x, [/mm] d.h. [mm] \mathcal{A}_T=\mathcal{P}(X) [/mm] (oder sowas in die absteigende Richtung).

Was genau soll mir das nun aber bringen, da doch sowieso klar ist, dass [mm] f\not=g \circ [/mm] T in diesem Beispiel gilt.

Mit der Konstruktion von g ist mir schon klar, nur was macht man hier dazu? Vermutlich muss g schoneinmal stetig sein.

Bezug
                                        
Bezug
Messbarkeit Komposition: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:20 Fr 26.06.2020
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Maßtheorie"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
ev.vorhilfe.de
[ Startseite | Mitglieder | Impressum ]