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| Aufgabe | Sei [mm] $\Omega$ [/mm] eine überabzählbare Menge und F das System aller abzählbaren oder coabzählbaren (d.h. das Komplement ist abzählbar) Teilmengen von [mm] $\Omega$. [/mm] Wir wissen, dass F eine [mm] \sigma-Algebra [/mm] ist.
(a) Zeigen Sie, dass eine numerische Funktion [mm] f:\Omega \to \bar \IR [/mm] genau dann messbar ist, wenn sie auf einer (von einer FUnktion abhängigen) coabzählbaren Menge konstant ist.
(b) Sei μ die Mengenfunktion, die jedem abzählbaren A [mm] \in [/mm] F den Wert 0 und jedem coabzählbaren B [mm] \in [/mm] F den Wert [mm] \infty [/mm] zuordnet. Zeigen Sie, dass μ ein Maß auf [mm] (\Omega,F) [/mm] ist.
(c) Bestimmen Sie alle μ-integrierbaren Funktionen sowie deren Integrale
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Ich habe (b) gezeigt, was ziemlich einfach ist. Für (a) siehe hier: https://matheraum.de/read?t=408446
Da bin ich auch noch nicht weiter gekommen.
Und für (c) ist mir auch noch nichts eingefallen! Auf jeden Fall sind es die Funktionen, die auf einer abzählbaren Menge definiert sind! Oder?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:26 So 25.05.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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