Mersenne-Primzahl < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:38 Mo 04.01.2016 | | Autor: | chris22 |
| Aufgabe | Beweisen sie, dass [mm] 2^n-1 [/mm] Primzahl ist, wenn n Primzahl ist.
Hinweis: Nutzen sie hierzu [mm] 2^{ab}-1=(2^a-1)(2^{a(b-1)}+2^{a(b-2)}+ [/mm] ... + [mm] 2^a-1) [/mm] |
Die Form welche ich nutzen soll kenne ich nicht und ich hab leider Keine ahnung wie ich diese aufgabe lösen soll.
kann jemand helfen?
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fehlerhaft  | | Datum: | 10:54 Mo 04.01.2016 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Wenn [mm] 2^n-1 [/mm] eine Prinzahl sein soll, kannst du es nur die beiden Faktoren [mm] 2^n-1 [/mm] und 1 zerlegen, es gilt also [mm] 2^n-1=\green{(2^n-1)}\cdot\green{1}
[/mm]
Da n eine Prinzahl sein soll, muss [mm] n=n\cdot1 [/mm] gelten
Aus der Formel $ [mm] 2^{ab}-1=\red{(2^a-1)}\cdot\blue{(2^{a(b-1)}+2^{a(b-2)}+\ldots+2^a-1)} [/mm] $ weisst du aber, dass du auch [mm] 2^n-1 [/mm] mit ab=n eben genau so zerlegen kannst.
Also kannst du natürlich auch [mm] 2^{n\cdot1} [/mm] eben genau so zerlegen. Nutze also die obige Formel für die beiden folgenden Fälle:
a=1 b=n oder a=n, b=1
In beiden Fällen muss einer der farbig markierten Faktoren [mm] 2^n-1 [/mm] ergeben, der andere die 1.
Marius
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Korrektur) fundamentaler Fehler  | | Datum: | 11:22 Mo 04.01.2016 | | Autor: | abakus |
> Hallo
>
> Wenn [mm]2^n-1[/mm] eine Prinzahl sein soll, kannst du es nur die
> beiden Faktoren [mm]2^n-1[/mm] und 1 zerlegen, es gilt also
> [mm]2^n-1=\green{(2^n-1)}\cdot\green{1}[/mm]
>
> Da n eine Prinzahl sein soll, muss [mm]n=n\cdot1[/mm] gelten
>
>
> Aus der Formel
> [mm]2^{ab}-1=\red{(2^a-1)}\cdot\blue{(2^{a(b-1)}+2^{a(b-2)}+\ldots+2^a-1)}[/mm]
> weisst du aber, dass du auch [mm]2^n-1[/mm] mit ab=n eben genau so
> zerlegen kannst.
>
> Also kannst du natürlich auch [mm]2^{n\cdot1}[/mm] eben genau so
> zerlegen. Nutze also die obige Formel für die beiden
> folgenden Fälle:
> a=1 b=n oder a=n, b=1
>
> In beiden Fällen muss einer der farbig markierten Faktoren
> [mm]2^n-1[/mm] ergeben, der andere die 1.
>
> Marius
Hallo,
woher wissen wir denn, dass die Formel [mm]2^{ab}-1=\red{(2^a-1)}\cdot\blue{(2^{a(b-1)}+2^{a(b-2)}+\ldots+2^a-1)}[/mm] die EINZIGE Möglichkeit ist, eine Zahl der Form [mm]2^{ab}-1[/mm] zu faktorisieren?
Meines Erachtens taugt (ohne weitergehende Argumentation) die Formel nur zum Nachweis dafür, dass wenn n KEINE Primzahl ist, auch [mm]2^{ab}-1[/mm] keine Primzahl ist.
Gruß Abakus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:04 Mo 04.01.2016 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Die Aussage kannst du nicht beweisen. 11 ist prim und [mm] $2^{11}-1=23*89$. [/mm] Richtig ist: $n$ nicht prim [mm] $\Rightarrow 2^n-1$ [/mm] nicht prim.
|
|
|
|
