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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:45 Fr 10.10.2014 | | Autor: | tobmu |
| Aufgabe | Seien [mm] A_{1}, A_{2}, A_{3} [/mm] und [mm] B_{1}, B_{2}, B_{3} [/mm] Mengen. Beweisen Sie:
a) Wenn [mm] A_{1} \subseteq B_{1} [/mm] und [mm] A_{2} \subseteq B_{2} [/mm] und [mm] A_{3} \subseteq B_{3} [/mm] gilt, dann gilt auch [mm] ((A_{1} \cup A_{2}) \cup A_{3}) \subseteq ((B_{1} \cup B_{2}) \cup B_{3}).
[/mm]
b) Wenn [mm] A_{1} \subseteq B_{1} [/mm] und [mm] A_{2} \subseteq B_{2} [/mm] und [mm] A_{3} \subseteq B_{3} [/mm] gilt, dann gilt auch [mm] ((A_{1} \cap A_{2}) \cap A_{3}) \subseteq ((B_{1} \cap B_{2}) \cap B_{3}).
[/mm]
c) Aus [mm] ((A_{1} \cup A_{2}) \cup A_{3}) \subseteq ((B_{1} \cup B_{2}) \cup B_{3}) [/mm] folgt nicht: [mm] A_{1} \subseteq B_{1} [/mm] und [mm] A_{2} \subseteq B_{2} [/mm] und [mm] A_{3} \subseteq B_{3}
[/mm]
d) [mm] ((A_{1} \cup A_{2}) \cup A_{3}) [/mm] \ [mm] ((B_{1} \cup B_{2}) \cup B_{3}) \subseteq (A_{1} [/mm] \ [mm] B_{1}) \cup ((A_{2} [/mm] \ [mm] B_{2}) \cup (A_{3} [/mm] \ [mm] B_{3})) [/mm] |
Hallo miteinander,
zunächst möchte ich mich schon einmal für jede Hilfe bedanken, die ich von euch bekomme!
Zu a): Hier habe ich als Beweis Folgendes angegeben:
[mm] x_{1} \in A_{1} \Rightarrow x_{1} \in B_{1} \Rightarrow x_{1} \in ((B_{1} \cup B_{2}) \cup B_{3})
[/mm]
[mm] x_{2} \in A_{2} \Rightarrow x_{2} \in B_{2} \Rightarrow x_{2} \in ((B_{1} \cup B_{2}) \cup B_{3})
[/mm]
[mm] x_{3} \in A_{3} \Rightarrow x_{3} \in B_{3} \Rightarrow x_{3} \in ((B_{1} \cup B_{2}) \cup B_{3})
[/mm]
Ist das so richtig gedacht? Bzw. ist das überhaupt die Art einer korrekten Beweisführung?
Zu b): Hier müsste ich meiner Meinung nach beweisen, dass ein [mm] x_{} [/mm] in bspw. [mm] A_{1} [/mm] und [mm] A_{2} [/mm] liegt, um dann den Beweis wie bei a) weiterzuführen. Aber genau dieser Beweis fehlt mir, ich komme nicht darauf, wie das funktioniert.
Zu c): Diesen Teil stelle ich mir recht leicht vor. Ich habe mir einfach folgendes notiert:
[mm] x_{} \in A_{1} \Rightarrow x_{} \in B_{1} \vee x_{} \in B_{2} \vee x_{} \in B_{3}
[/mm]
So wäre doch bewiesen, dass [mm] x_{} [/mm] in einer der drei Mengen wäre, oder?
Zu d): Bedauerlicherweise fehlt mir hier komplett die Idee, wie ich das beweisen könnte.
Wie schon anfangs bemerkt, bedanke ich mich jetzt schon für Eure Hilfe!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo tobmu, ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
es ist einfacher, die Beantwortung mal aufzusplitten, sonst geht das schnell ziemlich durcheinander.
Am besten machst Du sowieso in Zukunft für jede Aufgabe eine neue Frage auf.
zu a)
> Seien [mm]A_{1}, A_{2}, A_{3}[/mm] und [mm]B_{1}, B_{2}, B_{3}[/mm] Mengen.
> Beweisen Sie:
>
> a) Wenn [mm]A_{1} \subseteq B_{1}[/mm] und [mm]A_{2} \subseteq B_{2}[/mm] und
> [mm]A_{3} \subseteq B_{3}[/mm] gilt, dann gilt auch [mm]((A_{1} \cup A_{2}) \cup A_{3}) \subseteq ((B_{1} \cup B_{2}) \cup B_{3}).[/mm]
> Hallo miteinander,
>
> zunächst möchte ich mich schon einmal für jede Hilfe
> bedanken, die ich von euch bekomme!
>
> Zu a): Hier habe ich als Beweis Folgendes angegeben:
>
> [mm]x_{1} \in A_{1} \Rightarrow x_{1} \in B_{1} \Rightarrow x_{1} \in ((B_{1} \cup B_{2}) \cup B_{3})[/mm]
>
> [mm]x_{2} \in A_{2} \Rightarrow x_{2} \in B_{2} \Rightarrow x_{2} \in ((B_{1} \cup B_{2}) \cup B_{3})[/mm]
>
> [mm]x_{3} \in A_{3} \Rightarrow x_{3} \in B_{3} \Rightarrow x_{3} \in ((B_{1} \cup B_{2}) \cup B_{3})[/mm]
>
> Ist das so richtig gedacht? Bzw. ist das überhaupt die Art
> einer korrekten Beweisführung?
Ja, das ist völlig ok. Damit ist die Behauptung gezeigt.
Grüße
reverend
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Weiter im Text...
> Seien [mm]A_{1}, A_{2}, A_{3}[/mm] und [mm]B_{1}, B_{2}, B_{3}[/mm] Mengen.
> Beweisen Sie:
>
> b) Wenn [mm]A_{1} \subseteq B_{1}[/mm] und [mm]A_{2} \subseteq B_{2}[/mm] und
> [mm]A_{3} \subseteq B_{3}[/mm] gilt, dann gilt auch [mm]((A_{1} \cap A_{2}) \cap A_{3}) \subseteq ((B_{1} \cap B_{2}) \cap B_{3}).[/mm]
>
> Zu b): Hier müsste ich meiner Meinung nach beweisen, dass
> ein [mm]x_{}[/mm] in bspw. [mm]A_{1}[/mm] und [mm]A_{2}[/mm] liegt,
Nein, das musst Du nicht beweisen. Betrachte ein x, das sowohl in [mm] A_1 [/mm] als auch in [mm] A_2 [/mm] und [mm] A_3 [/mm] enthalten ist. Nur für solche x soll die Aussage ja gelten. Du darfst also einfach annehmen, dass eines existiert (was gar nicht so sein muss) und es dann untersuchen. Gibt es kein solches x, ist die Aussage ja trotzdem gültig.
> um dann den Beweis
> wie bei a) weiterzuführen. Aber genau dieser Beweis fehlt
> mir, ich komme nicht darauf, wie das funktioniert.
Grüße
reverend
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Hallo nochmal,
> Seien [mm]A_{1}, A_{2}, A_{3}[/mm] und [mm]B_{1}, B_{2}, B_{3}[/mm] Mengen.
> Beweisen Sie:
>
> c) Aus [mm]((A_{1} \cup A_{2}) \cup A_{3}) \subseteq ((B_{1} \cup B_{2}) \cup B_{3})[/mm]
> folgt nicht: [mm]A_{1} \subseteq B_{1}[/mm] und [mm]A_{2} \subseteq B_{2}[/mm]
> und [mm]A_{3} \subseteq B_{3}[/mm]
>
> Zu c): Diesen Teil stelle ich mir recht leicht vor. Ich
> habe mir einfach folgendes notiert:
>
> [mm]x_{} \in A_{1} \Rightarrow x_{} \in B_{1} \vee x_{} \in B_{2} \vee x_{} \in B_{3}[/mm]
>
> So wäre doch bewiesen, dass [mm]x_{}[/mm] in einer der drei Mengen
> wäre, oder?
Nein, das wäre es nicht. Es ist aber auch nicht gefragt. Was wäre damit denn für die Aufgabe gewonnen?
Hier reicht es, ein Gegenbeispiel zu geben. Konstruiere 6 (möglichst kleine) Mengen, für die die Folgerung nicht gilt.
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:19 Fr 10.10.2014 | | Autor: | tobmu |
> > c) Aus [mm]((A_{1} \cup A_{2}) \cup A_{3}) \subseteq ((B_{1} \cup B_{2}) \cup B_{3})[/mm]
> > folgt nicht: [mm]A_{1} \subseteq B_{1}[/mm] und [mm]A_{2} \subseteq B_{2}[/mm]
> > und [mm]A_{3} \subseteq B_{3}[/mm]
> Hier reicht es, ein Gegenbeispiel zu geben. Konstruiere 6
> (möglichst kleine) Mengen, für die die Folgerung nicht
> gilt.
Das heißt, wenn ich die Mengen zum Beispiel Fülle mit [mm] A_{1} [/mm] = {1}, [mm] A_{2} [/mm] = {2}, [mm] A_{3} [/mm] = {4}, [mm] B_{1} [/mm] = {2,3}, [mm] B_{2} [/mm] = {1,4} und [mm] B_{3} [/mm] = {1,2}, dann wäre die Aufgabe gelöst?
Zusätzlich müsste ich dann noch schreiben: [mm] x_{}=1 \in A_{1} [/mm] , [mm] x_{}=1 \not\in B_{1} [/mm] ,denn dann hätte ich doch schon bewiesen, dass es für einen Fall nicht in Frage kommt, oder?
Gruß
tobmu
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Hallo tobmu,
> > > c) Aus [mm]((A_{1} \cup A_{2}) \cup A_{3}) \subseteq ((B_{1} \cup B_{2}) \cup B_{3})[/mm]
> > > folgt nicht: [mm]A_{1} \subseteq B_{1}[/mm] und [mm]A_{2} \subseteq B_{2}[/mm]
> > > und [mm]A_{3} \subseteq B_{3}[/mm]
>
> > Hier reicht es, ein Gegenbeispiel zu geben. Konstruiere 6
> > (möglichst kleine) Mengen, für die die Folgerung nicht
> > gilt.
>
> Das heißt, wenn ich die Mengen zum Beispiel Fülle mit
> [mm]A_{1}[/mm] = {1}, [mm]A_{2}[/mm] = {2}, [mm]A_{3}[/mm] = {4}, [mm]B_{1}[/mm] = {2,3}, [mm]B_{2}[/mm]
> = {1,4} und [mm]B_{3}[/mm] = {1,2}, dann wäre die Aufgabe gelöst?
Jo!
> Zusätzlich müsste ich dann noch schreiben: [mm]x_{}=1 \in A_{1}[/mm]
> , [mm]x_{}=1 \not\in B_{1}[/mm] ,denn dann hätte ich doch schon
> bewiesen, dass es für einen Fall nicht in Frage kommt,
> oder?
Ich würde hinschreiben, was [mm]A_1\cup A_2\cup A_3[/mm] und [mm]B_1\cup B_2\cup B_3[/mm] konkret ist, dann sieht man, dass die Teilmengenbeziehung [mm]((A_{1} \cup A_{2}) \cup A_{3}) \subseteq ((B_{1} \cup B_{2}) \cup B_{3})[/mm] gilt.
Weiter ist offensichtlich nach deiner Wahl der Mengen [mm]A_i, B_i[/mm]:
[mm]A_i\not\subset B_i[/mm] für [mm]i=1,2,3[/mm]
Es hätte übrigens genügt, dass für einen der drei Möglichkeiten die Teilmengenbeziehnung nicht gilt.
Damit sieht dann ein "Außenstehender" oder Korrektor, dass das Gegenbsp. passt ...
>
> Gruß
> tobmu
>
Gruß
schachuzipus
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...und schließlich:
> Seien [mm]A_{1}, A_{2}, A_{3}[/mm] und [mm]B_{1}, B_{2}, B_{3}[/mm] Mengen.
> Beweisen Sie:
>
> d) [mm]((A_{1} \cup A_{2}) \cup A_{3})[/mm] \ [mm]((B_{1} \cup B_{2}) \cup B_{3}) \subseteq (A_{1}[/mm]
> \ [mm]B_{1}) \cup ((A_{2}[/mm] \ [mm]B_{2}) \cup (A_{3}[/mm] \ [mm]B_{3}))[/mm]
>
> Zu d): Bedauerlicherweise fehlt mir hier komplett die Idee,
> wie ich das beweisen könnte.
Betrachte ein allgemeines [mm] x_i\in A_i, [/mm] das aber weder in [mm] B_1 [/mm] noch [mm] B_2 [/mm] noch [mm] B_3 [/mm] liegt.
Grüße
reverend
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