Mengenl + Wahrscheinlichkeiten < Wahrscheinlichkeit < Stochastik < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:13 Sa 09.06.2012 | | Autor: | hase-hh |
| Aufgabe | Für drei Ereignisse seien folgende Wahrscheinlichkeiten gegeben:
P(A)= 0,5 P(B)= 0,7 P(C)= 0,3
P(A [mm] \cup [/mm] B)= 0,85 P(A [mm] \cup [/mm] C)= 0,65 P(B [mm] \cup [/mm] C)= 0,75.
Berechnen Sie die folgenden Wahrscheinlichkeiten:
1. P(A [mm] \cap [/mm] B)
2. [mm] P(\overline{A \cup C})
[/mm]
3. [mm] P(\overline{B} \cup \overline{C})
[/mm]
4. P(C \ B)
5. P( [mm] \overline{A} \cap [/mm] B]
6. P(B|C)
7. P(C|B) |
Moin Moin,
bei Aufgabe 5 komme ich nicht weiter. Was muss ich da tun?
zu den übrigen Aufgaben:
1. P(A [mm] \cap [/mm] B) = P(A) + P(B) - P(A [mm] \cup [/mm] B)
= 0,5 +0,7 -0,85 = 0,35
2. [mm] P(\overline{A \cup C}) [/mm] = 1 - P(A [mm] \cup [/mm] C)
= 1 - 0,65 = 0,35
3. [mm] P(\overline{B} \cup \overline{C}) [/mm] = [mm] P(\overline{B \cap C})
[/mm]
= 1 - P(B [mm] \cap [/mm] C)
= 1- (P(B) +P(C) - P(B [mm] \cup [/mm] C))
= 1 - (0,7 + 0,3 - 0,75)
= 0,75
4. P(C \ B) = P(C [mm] \cap \overline{B})
[/mm]
Hier habe ich zunächst P(C [mm] \cap [/mm] B) ausgerechnet...
P(C [mm] \cap [/mm] B) = P(C) +P(B) - P(C [mm] \cup [/mm] B)
= 0,3 + 0,7 -0,75
= 0,25
und dann
P(C \ B) = P(C) - P(C [mm] \cap [/mm] B)
= 0,3 -0,25 = 0,05
5. P( [mm] \overline{A} \cap [/mm] B]
keine Idee
Bedingte Wahrscheinlichkeiten...
6. P(B|C) = [mm] \bruch{P(B \cap C)}{P(C)}
[/mm]
= [mm] \bruch{0,25}{0,3} [/mm] = 0,8333
7. P(C|B) = [mm] \bruch{P(B \cap C)}{P(B)}
[/mm]
= [mm] \bruch{0,25}{0,7} \approx [/mm] 0,3571
Danke & Gruß!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:26 Sa 09.06.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Für drei Ereignisse seien folgende Wahrscheinlichkeiten
> gegeben:
>
> P(A)= 0,5 P(B)= 0,7 P(C)= 0,3
>
> P(A [mm]\cup[/mm] B)= 0,85 P(A [mm]\cup[/mm] C)= 0,65 P(B [mm]\cup[/mm] C)= 0,75.
>
> Berechnen Sie die folgenden Wahrscheinlichkeiten:
>
> 1. P(A [mm]\cap[/mm] B)
>
> 2. [mm]P(\overline{A \cup C})[/mm]
>
> 3. [mm]P(\overline{B} \cup \overline{C})[/mm]
>
> 4. P(C \ B)
>
> 5. P( [mm]\overline{A} \cap[/mm] B]
>
> 6. P(B|C)
>
> 7. P(C|B)
> Moin Moin,
>
> bei Aufgabe 5 komme ich nicht weiter. Was muss ich da tun?
wie wäre es, folgendes auszunutzen?
$$B=(A [mm] \stackrel{\text{d}}{\cup} \overline{A}) \cap [/mm] B=(A [mm] \cap [/mm] B) [mm] \stackrel{\text{d}}{\cup}(\overline{A} \cap B)\,.$$
[/mm]
Dabei steht [mm] $\stackrel{\text{d}}{\cup}$ [/mm] für "disjunkte Vereinigung" - was Dir natürlich insbesondere deshalb weiterhilft, weil Du einerseits schon [mm] $P(B)\,$ [/mm] kennst, und andererseits gemäß 1.) $P(A [mm] \cap [/mm] B)$ ja berechnen solltest (was übrigens korrekt von Dir ausgerechnet wurde).
(Tipp: Erinnere Dich, wie man $P(X [mm] \cup [/mm] Y)$ berechnen kann, wenn $X [mm] \cap Y=\emptyset\,.$ [/mm] (In meiner Notation würde ich also kurz schreiben: Wie berechnet man $P(X [mm] \stackrel{\text{d}}{\cup}Y)\,$?))
[/mm]
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:41 Sa 09.06.2012 | | Autor: | hase-hh |
Moin Marcel, moin @all !!
naja nicht ganz. Bei Aufgabe 4. waren keine Komplementärmengen ( wie bspw. [mm] \overline{A} [/mm] ) enthalten.
Also Du sagst:
P( (A [mm] \cup \overline{A}) \cap [/mm] B) = P(B)
P( (A [mm] \cup \overline{A}) \cap [/mm] B) = P((A [mm] \cap [/mm] B) [mm] \cup (\overline{A} \cap [/mm] B))
P((A [mm] \cap [/mm] B) [mm] \cup (\overline{A} \cap [/mm] B)) = P(B)
[mm] P(\overline{A} \cap [/mm] B)) = P(B) - P(A [mm] \cap [/mm] B)
= 0,7 - 0,35 = 0,35
Und das wars dann schon?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:44 Sa 09.06.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Moin Marcel, moin @all !!
>
> naja nicht ganz. Bei Aufgabe 4. waren keine
> Komplementärmengen ( wie bspw. [mm]\overline{A}[/mm] ) enthalten.
aber Du hattest sie doch selbst korrekt ins Spiel gebracht - darf ich Dich bei Aufgabe 4.) an Deine erste Zeile erinnern:
> P(C \ B) = P(C $ [mm] \cap \overline{B}) [/mm] $
Na? Siehst Du's?
> Also Du sagst:
>
> P( (A [mm]\cup \overline{A}) \cap[/mm] B) = P(B)
[mm] $$\red{\gdw}$$
[/mm]
> $P( (A [mm] \cup \overline{A}) \cap [/mm] B) = P((A [mm] \cap [/mm] B) [mm] \cup (\overline{A} \cap [/mm] B))$
[mm] \red{=P(B)}$
[/mm]
[mm] $$\red{\gdw}$$
[/mm]
> P((A [mm]\cap[/mm] B) [mm]\cup (\overline{A} \cap[/mm] B)) = P(B)
[mm] $$\red{\gdw}$$
[/mm]
> [mm]P(\overline{A} \cap[/mm] B)) = P(B) - P(A [mm]\cap[/mm] B)
wobei diese letzte Äquivalenz eben gilt, weil $P((A [mm] \cap [/mm] B) [mm] \stackrel{\text{d}}{\cup}(\overline{A}\cap [/mm] B))=P(A [mm] \cap B)+P(\overline{A}\cap B)\,.$
[/mm]
Also folgt
[mm] $$\red{P(\overline{A} \cap B)}=$$
[/mm]
> = 0,7 - 0,35 = 0,35
>
> Und das wars dann schon?
Ja. Ich hab' nur mal den mathematischen Zusammenhang zu Deiner Auflistung von Gleichungen ergänzt. (Und ein, zwei sinnvolle Ergänzungen!)  Aber verstanden hast Du das - sofern [mm] $P(B)=0,7\,$ [/mm] vorgegeben war und Du $P(A [mm] \cap [/mm] B)=0,35$ berechnet hattest - ich gehe mal davon aus, dass Du abschreiben kannst, deswegen habe ich das nicht nochmal geprüft.
Gruß,
Marcel
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Hallo,
> Moin Moin,
>
> bei Aufgabe 5 komme ich nicht weiter. Was muss ich da tun?
>
>
> zu den übrigen Aufgaben:
>
> 1. P(A [mm]\cap[/mm] B) = P(A) + P(B) - P(A [mm]\cup[/mm] B)
> = 0,5 +0,7 -0,85 = 0,35
>
stimmt
> 2. [mm]P(\overline{A \cup C})[/mm] = 1 - P(A [mm]\cup[/mm] C)
> = 1 - 0,65 = 0,35
>
stimmt
> 3. [mm]P(\overline{B} \cup \overline{C})[/mm] = [mm]P(\overline{B \cap C})[/mm]
>
> = 1 - P(B [mm]\cap[/mm] C)
> = 1- (P(B) +P(C) - P(B [mm]\cup[/mm] C))
> = 1 - (0,7 + 0,3 - 0,75)
> = 0,75
>
stimmt.
> 4. P(C \ B) = P(C [mm]\cap \overline{B})[/mm]
>
> Hier habe ich zunächst P(C [mm]\cap[/mm] B) ausgerechnet...
>
> P(C [mm]\cap[/mm] B) = P(C) +P(B) - P(C [mm]\cup[/mm] B)
> = 0,3 + 0,7 -0,75
> = 0,25
>
> und dann
>
> P(C \ B) = P(C) - P(C [mm]\cap[/mm] B)
>
> = 0,3 -0,25 = 0,05
>
stimmt auch
>
> 5. P( [mm]\overline{A} \cap[/mm] B]
>
> keine Idee
>
>
Es ist 5. P( [mm]\overline{A} \cap[/mm] B]
= P(B \ A)= P(B)- P(A [mm]\cap[/mm] B)
>
>
> Bedingte Wahrscheinlichkeiten...
>
> 6. P(B|C) = [mm]\bruch{P(B \cap C)}{P(C)}[/mm]
>
> = [mm]\bruch{0,25}{0,3}[/mm] = 0,8333
>
>
> 7. P(C|B) = [mm]\bruch{P(B \cap C)}{P(B)}[/mm]
>
> = [mm]\bruch{0,25}{0,7} \approx[/mm] 0,3571
>
auch beides richtig
Viele Grüße
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:07 Sa 09.06.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> > 4. P(C \ B) = P(C [mm]\cap \overline{B})[/mm]
> >
> > Hier habe ich zunächst P(C [mm]\cap[/mm] B) ausgerechnet...
> >
> > P(C [mm]\cap[/mm] B) = P(C) +P(B) - P(C [mm]\cup[/mm] B)
> > = 0,3 + 0,7 -0,75
> > = 0,25
> >
> > und dann
> >
> > P(C \ B) = P(C) - P(C [mm]\cap[/mm] B)
> >
> > = 0,3 -0,25 = 0,05
> >
> stimmt auch
> >
> > 5. P( [mm]\overline{A} \cap[/mm] B]
> >
> > keine Idee
> >
> >
> Es ist 5. P( [mm]\overline{A} \cap[/mm] B]
> = P(B \ A)= P(B)- P(A [mm]\cap[/mm] B)
das folgt aus meiner Antwort. Witzig finde ich allerdings, und das habe ich erst gerade gesehen, dass er genau das gleiche Vorgehen in Aufgabe 4.) selbstständig gemacht hatte. Denn Aufgabe 4.) ist ja nichts anderes als die Berechnung von
$$P(C [mm] \cap \overline{B})=P(\overline{B} \cap C)\,.$$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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