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| Aufgabe | Für N [mm] \in \IN [/mm] betrachte die Menge [mm] \Omega= \{w=(x_1,...,x_N)| x_i \in \{-1,1\}\} [/mm] mit der Gleichverteilung P. Wir definieren die Zufallsvariablen:
[mm] X_i(w)=x_i [/mm] und [mm] S_i(w)=s_i=x_1+...+x_i, [/mm] für i=1,...,N und [mm] w=(x_1,...,x_N)
[/mm]
Eine Menge [mm] A\subset \Omega [/mm] heißt beobachtbar bis zum Zeitpunkt n [mm] \in [/mm] {0,...,N}, wenn sie sich als vereinigung von Mengen der Form [mm] \{X_1=x_1,...,X_n=x_n\}=\{S_1=s_1,...,S_n=s_n\} [/mm] darstellen lässt.
Sei [mm] A_n [/mm] die Klasse dieser Mengen.
Zeige: [mm] \{\emptyset , \Omega\}=:A_0 \subset A_1 \subset... \subset A_N=P(\Omega) [/mm] |
Hallo,
Ich glaube, dass gemeint ist [mm] A_n:=\{X_1=x_1,...,X_n=x_n\}.
[/mm]
(was ist mit "Klasse dieser Mengen" genau gemeint??)
damit ist doch nun [mm] A_1:=\{X_1=x_1\}, [/mm] oder??
somit hat [mm] A_1 [/mm] doch nur 1 element, nämlich [mm] \Omega [/mm] oder??
wie kann dann [mm] \emptyset \in A_1 [/mm] sein???
Irgendwas stimmt hier nicht, ich weis nur nicht genau was. Vielleicht kann mir jemand weiterhelfen.
Liebe Grüße
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Hiho,
da fehlt der Zusatz "und die leere Menge", oder man definiert [mm] $\bigcup_{k=1}^{0}A_k [/mm] = [mm] \emptyset$.
[/mm]
Wurde aber (zumindest in meiner Übung) auch zusätzlich erwähnt.
Anschaulich bestehen die [mm] A_n [/mm] also aus den "Grundmengen" [mm] $\{X_1=x_1,...,X_n=x_n\}$, [/mm] d.h. den Mengen, wo die ersten n Elemente klar sind sowie und deren Vereinigungen.
Am Beispiel [mm] A_1:
[/mm]
[mm] A_1 [/mm] enthält also [mm] $\{X_1 = x_1\}$, [/mm] wobei [mm] $x_1\in\{0,1\}$ [/mm] d.h.
[mm] A_1 [/mm] enthält schonmal die Mengen [mm] $\{X_1 = 0\}$ [/mm] und [mm] $\{X_1 = 1\}$, [/mm] hinzu kommt [mm] \emptyset [/mm] und die Vereinigungen, d.h. in dem obigen Fall
[mm] $\{X_1 = 0\}\cup $\{X_1 = 1\} [/mm] = [mm] \Omega$ [/mm] und wir erhalten:
[mm] A_1 [/mm] = [mm] \{\emptyset, \{X_1 = 0\}, \{X_1 = 1\}, \Omega\}$.
[/mm]
MFG,
Gono.
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