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Mengengleichheit: Aufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 07:22 So 11.11.2012
Autor: Rated-R

Aufgabe
Beweisen Sie:

a) (A [mm] \cup [/mm] B) \ (A [mm] \cap [/mm] B) = (A \ B [mm] )\cup [/mm] (B \ A)

b) A \ (B [mm] \cap [/mm] C) = (A \ B) [mm] \cup [/mm] (A \ C)

c) (A [mm] \cap [/mm] C) [mm] \cup [/mm]  (B [mm] \cap [/mm] C) [mm] \cup [/mm] (A [mm] \cap [/mm] B) = A [mm] \cap [/mm] ( B [mm] \cup [/mm] C) [mm] \cup [/mm] (B [mm] \cap [/mm] C)

a)

(x [mm] \in [/mm] A [mm] \vee [/mm] x [mm] \in [/mm] B) [mm] \wedge [/mm] (x [mm] \not\in [/mm] A [mm] \wedge [/mm] x [mm] \not\in [/mm] B)

zur übersicht (A [mm] \vee [/mm] B) [mm] \wedge (\neg [/mm] A [mm] \vee \neg [/mm] B)
Wie komme ich hier weiter, kann ich das mit den Distributivgesetz umformen?

b) Umgeformt: A [mm] \wedge \neg [/mm] (B [mm] \wedge [/mm] C) <=> A [mm] \wedge (\neg [/mm] B [mm] \vee \neg [/mm] C) (de morgan)
<=> (A [mm] \wedge \neg [/mm] B) [mm] \vee [/mm] (A [mm] \wedge \neg [/mm] C) Distributivgesetz stimmt oder?

c) hier hab ich auch Probleme die richtige Formel zu finden

Rückwärts beginnend: A [mm] \wedge [/mm] (B [mm] \vee [/mm] C) [mm] \vee [/mm] (B [mm] \wedge [/mm] C)

ich weiß nicht wie man das Vereinfachen bzw. auf die gewünscht Form umformen könnte.

Vielen Dank für eure Hilfe

gruß Tom
                                                            

        
Bezug
Mengengleichheit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:31 So 11.11.2012
Autor: tobit09

Hallo Rated-R,


> c) (A [mm]\cap[/mm] C) [mm]\cup[/mm]  (B [mm]\cap[/mm] C) [mm]\cup[/mm] (A [mm]\cap[/mm] B) = [mm] \red{(} [/mm] A [mm]\cap[/mm] ( B [mm]\cup[/mm] C) [mm] \red{)}[/mm]  [mm]\cup[/mm] (B [mm]\cap[/mm] C)


>  a)

Für beliebige Objekte x gelten folgende Äquivalenzen:
[mm] $x\in [/mm] (A [mm] \cup [/mm] B) [mm] \setminus [/mm] (A [mm] \cap [/mm] B) [mm] \gdw$ [/mm]

> (x [mm]\in[/mm] A [mm]\vee[/mm] x [mm]\in[/mm] B) [mm]\wedge[/mm] (x [mm]\not\in[/mm] A [mm]\red{\wedge}\green{\vee}[/mm] x [mm]\not\in[/mm] B)
>  
> zur übersicht (A [mm]\vee[/mm] B) [mm]\wedge (\neg[/mm] A [mm]\vee \neg[/mm] B)

A und B bezeichnen ja schon Mengen, nicht Aussagen. Schreibe also A' und B' für die Aussagen [mm] "$x\in [/mm] A$" bzw. [mm] "$x\in [/mm] B$".

>  Wie komme ich hier weiter, kann ich das mit den
> Distributivgesetz umformen?

Das ist möglich, ja.


> b) Umgeformt: A [mm]\wedge \neg[/mm] (B [mm]\wedge[/mm] C) <=> A [mm]\wedge (\neg[/mm]
> B [mm]\vee \neg[/mm] C) (de morgan)
>  <=> (A [mm]\wedge \neg[/mm] B) [mm]\vee[/mm] (A [mm]\wedge \neg[/mm] C)

> Distributivgesetz stimmt oder?

Hier gelten die gleichen Anmerkungen wie bei a). Ansonsten ok.


> c) hier hab ich auch Probleme die richtige Formel zu
> finden
>  
> Rückwärts beginnend: [mm] \red{(} [/mm] A [mm]\wedge[/mm] (B [mm]\vee[/mm] C) [mm] \red{)}[/mm]  [mm]\vee[/mm] (B [mm]\wedge[/mm]
> C)
>  
> ich weiß nicht wie man das Vereinfachen bzw. auf die
> gewünscht Form umformen könnte.

Obwohl auch hier prinzipiell ein Start mit dem Distributivgesetz möglich wäre, ist dein Vorgehen mit Äquivalenzumformungen bei schwierigeren Aufgaben nicht ganz leicht durchzuführen. Ich würde dir daher grundsätzlich ein anderes Vorgehen empfehlen: Guck mal hier (klick) unter Punkt h).


Viele Grüße
Tobias

Bezug
                
Bezug
Mengengleichheit: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:56 So 11.11.2012
Autor: Rated-R


> Hallo Rated-R,
>  
>
> > c) (A [mm]\cap[/mm] C) [mm]\cup[/mm]  (B [mm]\cap[/mm] C) [mm]\cup[/mm] (A [mm]\cap[/mm] B) = [mm]\red{(}[/mm] A
> [mm]\cap[/mm] ( B [mm]\cup[/mm] C) [mm]\red{)}[/mm]  [mm]\cup[/mm] (B [mm]\cap[/mm] C)
>  
>
> >  a)

>  Für beliebige Objekte x gelten folgende Äquivalenzen:
>  [mm]x\in (A \cup B) \setminus (A \cap B) \gdw[/mm]
>  > (x [mm]\in[/mm] A [mm]\vee[/mm]

> x [mm]\in[/mm] B) [mm]\wedge[/mm] (x [mm]\not\in[/mm] A [mm]\red{\wedge}\green{\vee}[/mm] x
> [mm]\not\in[/mm] B)
>  >  
> > zur übersicht (A [mm]\vee[/mm] B) [mm]\wedge (\neg[/mm] A [mm]\vee \neg[/mm] B)
>  A und B bezeichnen ja schon Mengen, nicht Aussagen.
> Schreibe also A' und B' für die Aussagen "[mm]x\in A[/mm]" bzw.
> "[mm]x\in B[/mm]".
>  
> >  Wie komme ich hier weiter, kann ich das mit den

> > Distributivgesetz umformen?
>  Das ist möglich, ja.
>  

beim einem hab ich aber A' und beim anderen [mm] \neg [/mm] A' ich kenne nur das Gesetz A [mm] \vee [/mm] ( B [mm] \wedge [/mm] C) = (A [mm] \vee [/mm] B ) [mm] \wedge [/mm] (A [mm] \vee [/mm] C) gibts irgend einen Trick mit dem ich das nicht A wegbekomme?

>
> > b) Umgeformt: A [mm]\wedge \neg[/mm] (B [mm]\wedge[/mm] C) <=> A [mm]\wedge (\neg[/mm]
> > B [mm]\vee \neg[/mm] C) (de morgan)
>  >  <=> (A [mm]\wedge \neg[/mm] B) [mm]\vee[/mm] (A [mm]\wedge \neg[/mm] C)

> > Distributivgesetz stimmt oder?
>  Hier gelten die gleichen Anmerkungen wie bei a). Ansonsten
> ok.
>  
>
> > c) hier hab ich auch Probleme die richtige Formel zu
> > finden
>  >  
> > Rückwärts beginnend: [mm]\red{(}[/mm] A [mm]\wedge[/mm] (B [mm]\vee[/mm] C) [mm]\red{)}[/mm]  
> [mm]\vee[/mm] (B [mm]\wedge[/mm]
> > C)
>  >  
> > ich weiß nicht wie man das Vereinfachen bzw. auf die
> > gewünscht Form umformen könnte.
>  Obwohl auch hier prinzipiell ein Start mit dem
> Distributivgesetz möglich wäre, ist dein Vorgehen mit
> Äquivalenzumformungen bei schwierigeren Aufgaben nicht
> ganz leicht durchzuführen. Ich würde dir daher
> grundsätzlich ein anderes Vorgehen empfehlen: Guck mal
> hier (klick)
> unter Punkt h).
>  

Also praktische eine Fallunterscheidung, das dauert aber auch seine Zeit^^^Vielen Dank!


>
> Viele Grüße
>  Tobias


Bezug
                        
Bezug
Mengengleichheit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:12 So 11.11.2012
Autor: tobit09


> beim einem hab ich aber A' und beim anderen [mm]\neg[/mm] A' ich
> kenne nur das Gesetz A [mm]\vee[/mm] ( B [mm]\wedge[/mm] C) = (A [mm]\vee[/mm] B )
> [mm]\wedge[/mm] (A [mm]\vee[/mm] C) gibts irgend einen Trick mit dem ich das
> nicht A wegbekomme?

[mm] $A\wedge \neg [/mm] A$ ist stets eine falsche Aussage. Sie kann also innerhalb einer Disjunktion (=oder-Verknüpfung von Aussagen) weggelassen werden.

> Also praktische eine Fallunterscheidung, das dauert aber
> auch seine Zeit

Das stimmt. Dein Weg ist sehr schnell, wenn du passende Gesetze schon kennst. Aber mit zunehmender Komplexität wird es immer schwieriger, alles auf solche Gesetze zurückzuführen, wie du ja schon an diesen Aufgaben siehst. Spätestens, wenn du mit konkreteren Mengen zu tun haben wirst, wirst du um die von mir vorgestellte Art der Herangehensweise nicht mehr herumkommen.


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