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| Aufgabe | Sei R [mm] \sigma-Ring [/mm] mit abzählbarer, additiven, nicht negativen Mengenfunktion [mm] \phi. [/mm] Sei A [mm] \in [/mm] R mit [mm] \phi(A)<\infty [/mm] fest gewählt und das Mengensystem [mm] \mathcal{M}\subseteq [/mm] R bestehe aus beliebig vielen, paarweise disjunkten Mengen aus R. Beweise: Dann gilt [mm] \phi(A\capM)>0 [/mm] höchstens für abzählbar viele [mm] M\in\mathcal{M}.
[/mm]
Hinweis: Betrachte für [mm] n\in\IN
[/mm]
[mm] M\in\mathcal{M}: \phi(A\cap M)\ge\bruch{1}{n} [/mm] |
Ich hab mir überlegt, dass nur endlich viele M in A liegen können. Denn da die einzelnen M disjunkt sind, ist A irgendwann "voll" und es passen keine M mehr rein, also liegen nur endlich viele M in A.
Da [mm] \phi(A\cap [/mm] M)>0 nur für M gilt, die zum Teil oder komplett in A liegen, und das endlich viele sind, sind die M auch abzählbar. Und das war zu zeigen.
Wie verwende ich dabei den Hinweis?
Wie formuliere ich das mathematisch?
schonmal danke im vorraus
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:42 Sa 17.10.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Sei R [mm]\sigma-Ring[/mm] mit abzählbarer, additiven, nicht
> negativen Mengenfunktion [mm]\phi.[/mm] Sei A [mm]\in[/mm] R mit
> [mm]\phi(A)<\infty[/mm] fest gewählt und das Mengensystem
> [mm]\mathcal{M}\subseteq[/mm] R bestehe aus beliebig vielen,
> paarweise disjunkten Mengen aus R. Beweise: Dann gilt
> [mm]\phi(A\capM)>0[/mm] höchstens für abzählbar viele
> [mm]M\in\mathcal{M}.[/mm]
> Hinweis: Betrachte für [mm]n\in\IN[/mm]
> [mm]M\in\mathcal{M}: \phi(A\cap M)\ge\bruch{1}{n}[/mm]
>
> Ich hab mir
> überlegt, dass nur endlich viele M in A liegen können.
Dann hast du aber falsch ueberlebt.
Zum Beispiel kannst du das Intervall $(0, 1]$ als disjunkte Vereinigung von unendlich abzaehlbar vielen nicht-leeren Intervallen schreiben: $(0, 1] = [mm] \bigcup_{n\in\IN} (\frac{1}{n + 1}, \frac{1}{n}]$. [/mm] Wenn du jetzt das Lebesgue-Mass nimmst, hast du [mm] $\phi((0, [/mm] 1]) = 1$, aber es ist mit unendlich vielen disjunkten Mengen mit Mass $> 0$ gefuellt.
So. Aber du hast doch einen tollen Tipp bekommen. Schau dir fuer $n [mm] \in \IN$ [/mm] die Menge [mm] $A_n [/mm] = [mm] \{ M \in \mathcal{M} : \phi(A \cap M) \ge \frac{1}{n} \}$ [/mm] an. Dann gilt doch [mm] $\bigcup_{n\in\IN} A_n [/mm] = [mm] \{ M \in \mathcal{M} : \phi(A \cap M) > 0 \}$ [/mm] (warum?).
Jetzt ueberleg dir, dass [mm] $A_n$ [/mm] jeweils nur endlich viele Elemente enthaelt. Dazu beachte, dass die $M$ paarweise disjunkt sind, also auch die $M [mm] \cap [/mm] A$. Damit gilt ja [mm] $\infty [/mm] > [mm] \phi(A) \ge \phi(\bigcup_{M \in A_n} [/mm] (M [mm] \cap [/mm] A)) = [mm] \sum_{M \in A_n} \phi(M \cap [/mm] A) [mm] \ge \sum_{M \in A_n} \frac{1}{n} [/mm] = [mm] \frac{1}{n} |A_n|$.
[/mm]
LG Felix
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> So. Aber du hast doch einen tollen Tipp bekommen. Schau dir
> fuer [mm]n \in \IN[/mm] die Menge [mm]A_n = \{ M \in \mathcal{M} : \phi(A \cap M) \ge \frac{1}{n} \}[/mm]
> an. Dann gilt doch [mm]\bigcup_{n\in\IN} A_n = \{ M \in \mathcal{M} : \phi(A \cap M) > 0 \}[/mm]
> (warum?).
Das gilt, weil n beliebig groß werden kann und daher 1/n gegen 0 geht.
> Jetzt ueberleg dir, dass [mm]A_n[/mm] jeweils nur endlich viele
> Elemente enthaelt. Dazu beachte, dass die [mm]M[/mm] paarweise
> disjunkt sind, also auch die [mm]M \cap A[/mm]. Damit gilt ja [mm]\infty > \phi(A) \ge \phi(\bigcup_{M \in A_n} (M \cap A)) = \sum_{M \in A_n} \phi(M \cap A) \ge \sum_{M \in A_n} \frac{1}{n} = \frac{1}{n} |A_n|[/mm].
Das das gilt habe ich glaube verstanden, aber warum folgt daraus, dass [mm] A_{n} [/mm] nur endlich viele Elemente enthält?
Danke
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:26 So 18.10.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> > So. Aber du hast doch einen tollen Tipp bekommen. Schau dir
> > fuer [mm]n \in \IN[/mm] die Menge [mm]A_n = \{ M \in \mathcal{M} : \phi(A \cap M) \ge \frac{1}{n} \}[/mm]
> > an. Dann gilt doch [mm]\bigcup_{n\in\IN} A_n = \{ M \in \mathcal{M} : \phi(A \cap M) > 0 \}[/mm]
> > (warum?).
>
> Das gilt, weil n beliebig groß werden kann und daher 1/n
> gegen 0 geht.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> > Jetzt ueberleg dir, dass [mm]A_n[/mm] jeweils nur endlich viele
> > Elemente enthaelt. Dazu beachte, dass die [mm]M[/mm] paarweise
> > disjunkt sind, also auch die [mm]M \cap A[/mm]. Damit gilt ja [mm]\infty > \phi(A) \ge \phi(\bigcup_{M \in A_n} (M \cap A)) = \sum_{M \in A_n} \phi(M \cap A) \ge \sum_{M \in A_n} \frac{1}{n} = \frac{1}{n} |A_n|[/mm].
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> Das das gilt habe ich glaube verstanden, aber warum folgt
> daraus, dass [mm]A_{n}[/mm] nur endlich viele Elemente enthält?
> Danke
Wenn [mm] $A_n$ [/mm] unendlich viele Elemente enthaelt, was ist dann [mm] $\frac{1}{n} |A_n|$?
[/mm]
LG Felix
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Ahh... da geht mir ein dickes fettes Licht auf.
> Wenn [mm]A_n[/mm] unendlich viele Elemente enthaelt, was ist dann
> [mm]\frac{1}{n} |A_n|[/mm]?
Dann wäre das auch unendlich und ein Widerspruch zu [mm] \phi(A)<\infty
[/mm]
Vielen Dank für deine Hilfe.
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