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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:31 Do 03.11.2011 | | Autor: | davux |
| Aufgabe | Es seien $A, B [mm] \subset [/mm] M$. Zeigen Sie:
(a) $M [mm] \setminus [/mm] (M [mm] \setminus [/mm] A) = A$
(b) $(A [mm] \setminus [/mm] B) [mm] \cap [/mm] (B [mm] \setminus [/mm] A) = (A [mm] \cup [/mm] B) [mm] \setminus [/mm] (A [mm] \cap [/mm] B)$ |
In der Übung haben wir ähnliche Beweise mit den De-Morgan'schen Regeln mit einzelnem Element gelöst. Mittlerweile sind mir verschiedene weitere Regeln geläufig, wie 'Ausmultiplizieren', 'Distributivgesetz', und heute kam auch noch eine Schreibweise hinzu, wo ich nicht genau weiß, ob ich diese verwenden darf.
Nun würde ich gerne ein paar meiner Versuche posten und sie überprüfen lassen, gegebenenfalls um Fragen zu klären.
zur (a):
Sei $x [mm] \in [/mm] M [mm] \setminus [/mm] (M [mm] \setminus [/mm] A)$, dann gilt $x [mm] \in [/mm] M$. Nun ist zu zeigen, $x [mm] \in [/mm] A$. Gelte aber $x [mm] \notin [/mm] A$, dann folgt $x [mm] \in [/mm] M [mm] \setminus [/mm] A$, was aber ein Widerspruch zur Voraussetzung ist. Somit gilt $x [mm] \in [/mm] A$.
Umgekehrt, wähle $x [mm] \in [/mm] A$. Dann gilt $x [mm] \in [/mm] A [mm] \Rightarrow [/mm] x [mm] \in [/mm] M$, da $A [mm] \subset [/mm] M$. Somit gilt $x [mm] \in [/mm] A$ und $x [mm] \in [/mm] M$, und ist $x [mm] \notin [/mm] (M [mm] \setminus [/mm] A)$. Daher lässt sich folgern $x [mm] \in [/mm] M [mm] \setminus [/mm] (M [mm] \setminus [/mm] A)$.
Das war der leicht gekürzte und aufbereitete erste Versuch.
Nun zu der anderen Schreibweise:
$M [mm] \setminus \overline{A} [/mm] = M [mm] \cap \overline{A}$
[/mm]
$M [mm] \setminus [/mm] (M [mm] \setminus [/mm] A) = M [mm] \cap \overline{(M \cap \overline{A})} [/mm] = M [mm] \cap (\overline{M} \cup [/mm] A) = [mm] \emptyset \cup [/mm] (M [mm] \cap [/mm] A) = A$
Hier ist der Beweis, der wohl am ehesten den Vorstellungen meiner Tutorin entspricht:
$x [mm] \in [/mm] M [mm] \setminus [/mm] (M [mm] \setminus [/mm] A) [mm] \gdw [/mm] x [mm] \in [/mm] M [mm] \wedge [/mm] (x [mm] \notin [/mm] (M [mm] \setminus [/mm] A) [mm] \gdw [/mm] x [mm] \in [/mm] M [mm] \wedge \overline{x \in (M \setminus A)} \gdw [/mm] x [mm] \in [/mm] M [mm] \wedge \overline{(x \in M \wedge x \notin A)} \gdw [/mm] x [mm] \in [/mm] M [mm] \wedge [/mm] (x [mm] \notin [/mm] M [mm] \vee [/mm] x [mm] \in [/mm] A)$
Ich sag jetzt mal, ab diesem Punkt bin ich unsicher. An Ausmultiplizieren mag ich denken, aber ich trau mich jetzt auch nicht dann einfach etwas rauszustreichen, weil ich es nicht unbedingt zweifelsfrei gänzlich begründen könnte.
Angenommen ich erhalte beim Ausmultiplizieren, $x [mm] \notin [/mm] M [mm] \vee [/mm] x [mm] \in [/mm] M$ dann ist das immer wahr. Wenn drumherum [mm] \wedge [/mm] stehen, dann kann das doch weg?
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> Es seien [mm]A, B \subset M[/mm]. Zeigen Sie:
> (a) [mm]M \setminus (M \setminus A) = A[/mm]
> (b) [mm](A \setminus B) \cap (B \setminus A) = (A \cup B) \setminus (A \cap B)[/mm]
>
> In der Übung haben wir ähnliche Beweise mit den
> De-Morgan'schen Regeln mit einzelnem Element gelöst.
> Mittlerweile sind mir verschiedene weitere Regeln
> geläufig, wie 'Ausmultiplizieren', 'Distributivgesetz',
> und heute kam auch noch eine Schreibweise hinzu, wo ich
> nicht genau weiß, ob ich diese verwenden darf.
> Nun würde ich gerne ein paar meiner Versuche posten und
> sie überprüfen lassen, gegebenenfalls um Fragen zu
> klären.
>
> zur (a):
> Sei [mm]x \in M \setminus (M \setminus A)[/mm], dann gilt [mm]x \in M[/mm].
> Nun ist zu zeigen, [mm]x \in A[/mm]. Gelte aber [mm]x \notin A[/mm], dann
> folgt [mm]x \in M \setminus A[/mm], was aber ein Widerspruch zur
> Voraussetzung ist. Somit gilt [mm]x \in A[/mm].
> Umgekehrt, wähle [mm]x \in A[/mm].
> Dann gilt [mm]x \in A \Rightarrow x \in M[/mm], da [mm]A \subset M[/mm].
> Somit gilt [mm]x \in A[/mm] und [mm]x \in M[/mm], und ist [mm]x \notin (M \setminus A)[/mm].
> Daher lässt sich folgern [mm]x \in M \setminus (M \setminus A)[/mm].
>
> Das war der leicht gekürzte und aufbereitete erste
> Versuch.
Der sieht soweit ganz gut aus.
Die Formulierung die du unten als tutorinnenfreundlich angegeben hast würde ich dir für die Abgabe aber eher empfehlen.
>
> Nun zu der anderen Schreibweise:
> [mm]M \setminus \overline{A} = M \cap \overline{A}[/mm]
Moment, wo kommt denn das auf einmal her?
Es ist [mm]M [mm] \setminus \overline{A} [/mm] = A$, da A eine Teilmenge von M ist.
Also wenn das M da auf der rechten Seite wirklich stehen soll müsstest du erstmal begründen wieso.
> [mm]M \setminus (M \setminus A) = M \cap \overline{(M \cap \overline{A})} = M \cap (\overline{M} \cup A) = \emptyset \cup (M \cap A) = A[/mm]
>
> Hier ist der Beweis, der wohl am ehesten den Vorstellungen
> meiner Tutorin entspricht:
> [mm]x \in M \setminus (M \setminus A) \gdw x \in M \wedge (x \notin (M \setminus A) \gdw x \in M \wedge \overline{x \in (M \setminus A)} \gdw x \in M \wedge \overline{(x \in M \wedge x \notin A)} \gdw x \in M \wedge (x \notin M \vee x \in A)[/mm]
>
> Ich sag jetzt mal, ab diesem Punkt bin ich unsicher. An
> Ausmultiplizieren mag ich denken, aber ich trau mich jetzt
> auch nicht dann einfach etwas rauszustreichen, weil ich es
> nicht unbedingt zweifelsfrei gänzlich begründen könnte.
> Angenommen ich erhalte beim Ausmultiplizieren, [mm]x \notin M \vee x \in M[/mm]
> dann ist das immer wahr. Wenn drumherum [mm]\wedge[/mm] stehen, dann
> kann das doch weg?
Ausmultiplizieren ist gut, du bringst hier nur scheinbar gerade ein wenig was durcheinander:
$x [mm] \in [/mm] M [mm] \wedge [/mm] (x [mm] \notin [/mm] M [mm] \vee [/mm] x [mm] \in [/mm] A) [mm] \gdw [/mm] (x [mm] \in [/mm] M [mm] \wedge [/mm] x [mm] \notin [/mm] M) [mm] \vee [/mm] (x [mm] \in [/mm] M [mm] \wedge [/mm] x [mm] \in [/mm] A) [mm] \gdw [/mm] x [mm] \in [/mm] A$
für die letzte Äquivalenz musst du vielleicht noch ein paar Zwischenschritte machen, aber so wird das was. ;)
lg
Schadow
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:14 Do 03.11.2011 | | Autor: | davux |
Von wegen "scheinbar durcheinander": Also für mich war das mit dem ODER der einzige Anhaltspunkt, was Sinn macht. Ich hätte die Klammern nach dem Ausmultiplizieren weggelassen, den Teil mit "links ODER rechts" im nächsten Schritt rausgelassen und nur noch M UND A erhalten, woraus ich dann A gefolgert hätte. Mal als Metafortsetzung geschrieben.
Und was den Teil mit der anderen Schreibweise angeht, habe ich in der ersten Zeile ein 'overline' zuviel, links beim A. Es sollte eine Vorüberlegung sein, die mit dem ersten GLEICH eingebracht wird.
Ich würde die Aufgabe (b) dann gerne nochmal abtippen, aber dazu dann wohl erst Morgen.
Jetzt erstmal noch eine Frage, (1) $x [mm] \in [/mm] M [mm] \wedge [/mm] x [mm] \notin [/mm] M$ ist immer wahr, genauso wie (2) $x [mm] \in [/mm] M [mm] \vee [/mm] x [mm] \notin [/mm] M$ immer wahr ist? Da war doch etwas von wegen ausgeschlossenem Dritten. Mein Problem ist, ich weiß nicht, ob ich das überhaupt verwenden darf. Im (2). Fall ist es finde ich sehr naheliegend, aber im ersten würde ich es nur als Konvention anerkennen, was wir aber nicht hatten.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:41 Sa 05.11.2011 | | Autor: | davux |
Ich möchte die beiden Aussagen noch klarstellen, indem ich sie wieder übersetze. Also
(1) $x [mm] \in [/mm] M [mm] \wedge [/mm] x [mm] \notin [/mm] M$ bedeutet $M [mm] \setminus [/mm] M$, also [mm] \emptyset
[/mm]
(2) $x [mm] \in [/mm] M [mm] \vee [/mm] x [mm] \notin [/mm] M$ bedeutet nach Anwendung des Kommutativgesetzes und der Definition der Implikation $M [mm] \Rightarrow [/mm] M$
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:48 Sa 05.11.2011 | | Autor: | davux |
Nach meiner zweiten Mitteilung weiter oben nun mit Bezug auf deine Fortsetzung meiner dritten Beweisvariante wären die von dir erwähnten Zwischenschritte
$x [mm] \in [/mm] (M [mm] \setminus [/mm] M) [mm] \vee [/mm] x [mm] \in [/mm] M [mm] \wedge [/mm] x [mm] \in [/mm] A [mm] \gdw [/mm] x [mm] \in \emptyset \vee [/mm] x [mm] \in [/mm] M [mm] \wedge [/mm] x [mm] \in [/mm] A [mm] \gdw [/mm] x [mm] \in [/mm] M [mm] \cap [/mm] A [mm] \gdw [/mm] A$
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> Nach meiner zweiten Mitteilung weiter oben nun mit Bezug
> auf deine Fortsetzung meiner dritten Beweisvariante wären
> die von dir erwähnten Zwischenschritte
> [mm]x \in (M \setminus M) \vee x \in M \wedge x \in A \gdw x \in \emptyset \vee x \in M \wedge x \in A \gdw x \in M \cap A \gdw A[/mm]
Das sieht gut aus, ja.
Du könntest $x [mm] \in \emptyset$ [/mm] auch gleich zu "falsch" auswerten und damit ganz weglassen ( falsch [mm] $\vee$ [/mm] A [mm] $\gdw$ [/mm] A), aber so klappt es auch.
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 11:53 So 06.11.2011 | | Autor: | davux |
| Aufgabe | | Zu Zeigen: [mm] $(A\setminus B)\cup(B\setminus [/mm] A) = [mm] (A\cup B)\setminus(A\cap [/mm] B)$ |
[mm] $x\in(A\setminus B)\cup(B\setminus [/mm] A)$
[mm] $\gdw x\in(A\setminus B)\vee x\in(B\setminus [/mm] A)$
[mm] $\gdw (x\in [/mm] A [mm] \wedge x\notin B)\vee(x\in B\wedge x\notin [/mm] A)$
Ich wende nun das Distributivgesetz an, indem ich den Ausdruck links des ODER mit denen rechts ausmultipliziere.
[mm] $\gdw (x\in [/mm] A [mm] \wedge x\notin B\vee x\in B)\wedge(x\in A\wedge x\notin B\vee x\notin [/mm] A)$
Hier habe ich wiederum Klammern gesetzt, weil ich das Kommutativgesetz bzgl. des ODER in der linken Klammer anwenden will.
[mm] $\gdw x\in B\vee x\in [/mm] A [mm] \wedge x\notin B\wedge x\in A\wedge x\notin B\vee x\notin [/mm] A$
Nun sind die einzelnen Aussagen in der Mitte jeweils mit UND verknüpft und ich habe sie jeweils doppelt, nehme sie daher nur einzeln.
[mm] $\gdw (x\in B\vee x\in A)\wedge(x\notin B\vee x\notin [/mm] A)$
Erneute Anwendung des Kommutativgesetzes auf beiden Seiten des UND.
[mm] $\gdw (x\in A\vee x\in B)\wedge(x\notin A\vee x\notin [/mm] B)$
[mm] $\gdw x\in(A\cup B)\wedge x\notin(A\cap [/mm] B)$
[mm] $\gdw x\in(A\cup B)\setminus(A\cap [/mm] B)$. [mm] $\Box$
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:21 Di 08.11.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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