Mengen kompakt? < Topologie+Geometrie < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:12 Mi 25.08.2010 | | Autor: | QTPi |
Topologie: T= [mm] \{ \emptyset, \IR \} \cup \{ (-c,\infty)| c>0 \} [/mm]
Sind die Mengen [-3,0], (-3,0) kompakt?
Ich steh total auf dem Schlauch ... :(
[mm] Qt\pi
[/mm]
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Hallo!
> Topologie: T= [mm]\{ \emptyset, \IR \} \cup \{ (-c,\infty)| c>0 \}[/mm]
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> Sind die Mengen [-3,0], (-3,0) kompakt?
>
> Ich steh total auf dem Schlauch ... :(
Hast du wirklich keinerlei Ansätze?
Ein Anfang wäre es, die (eure) Definition von Kompaktheit hier aufzuschreiben.
Es wird die mit den Überdeckungen sein: Eine Menge M heißt kompakt, wenn jede offene Überdeckung von M eine endliche Teilüberdeckung besitzt.
1. Das Intervall [-3,0]. Das ist kompakt.
Versuche dich an einem Beweis! Beginne so: Sei [mm] (U_{i})_{i\in I} [/mm] eine beliebige offene Überdeckung von [-3,0]. Dann muss es ein [mm] i\in [/mm] I geben, so dass $(-3) [mm] \in U_{i}$ [/mm] ist. Welche Mengen kommen für [mm] U_{i} [/mm] nur in Frage?
2. Das Intervall (-3,0). Das ist nicht kompakt.
Gegenbeispiel: Für [mm] n\in\IN [/mm] definiere [mm] $U_{n}:=\left(-3+\frac{1}{n},\infty\right)$. [/mm] Das sind alle Elemente der Topologie. Wie geht es weiter?
Grüße,
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:08 Mi 25.08.2010 | | Autor: | QTPi |
Hi,
vielen Dank für die schnelle Antwort!
> 1. Das Intervall [-3,0]. Das ist kompakt.
> Versuche dich an einem Beweis! Beginne so: Sei
> [mm](U_{i})_{i\in I}[/mm] eine beliebige offene Überdeckung von
> [-3,0]. Dann muss es ein [mm]i\in[/mm] I geben, so dass [mm](-3) \in U_{i}[/mm]
> ist. Welche Mengen kommen für [mm]U_{i}[/mm] nur in Frage?
Hmm, nur Mengen, die auch in T vorkommen? Oh je, ich habe immer noch ein Brett vor dem Kopf ....
> 2. Das Intervall (-3,0). Das ist nicht kompakt.
> Gegenbeispiel: Für [mm]n\in\IN[/mm] definiere
> [mm]U_{n}:=\left(-3+\frac{1}{n},\infty\right)[/mm]. Das sind alle
> Elemente der Topologie. Wie geht es weiter?
[mm] S=\{ \left(-3+\frac{1}{n},\infty\right) | n=2,3,4,\ldots \} [/mm]
Wenn x [mm] \in [/mm] [-3,0], dann gehört x zu einem Interval mit der Form [mm] \left(-3+\frac{1}{n},\infty\right) [/mm] und somit ist S eine Überdeckung von [-3,0]. Außerdem sind die Intervalle in S alle offen und somit ist S eine offene Überdeckung von [-3,0].
Aber sei
[mm] \{ \left(-3+\frac{1}{n_1},\infty\right) , \ldots , \left(-3+\frac{1}{n_k},\infty\right) \}
[/mm]
eine endliche Teilüberdeckung von S, dann wird nicht nicht jeder Punkt x überdeckt, für den gilt:
x [mm] \le -3+max\{\frac{1}{n_1}, \ldots, \frac{1}{n_k}\}
[/mm]
Grüße,
[mm] QT\pi
[/mm]
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Hallo!
> Hi,
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> vielen Dank für die schnelle Antwort!
>
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> > 1. Das Intervall [-3,0]. Das ist kompakt.
> > Versuche dich an einem Beweis! Beginne so: Sei
> > [mm](U_{i})_{i\in I}[/mm] eine beliebige offene Überdeckung von
> > [-3,0]. Dann muss es ein [mm]i\in[/mm] I geben, so dass [mm](-3) \in U_{i}[/mm]
> > ist. Welche Mengen kommen für [mm]U_{i}[/mm] nur in Frage?
>
> Hmm, nur Mengen, die auch in T vorkommen? Oh je, ich habe
> immer noch ein Brett vor dem Kopf ....
T besteht doch nur aus den Mengen, die in deiner Definition stehen.
Alle Mengen von T sind offen. Aber wenn (-3) in einer Menge von T enthalten ist, welche Mengen von T kommen denn dann überhaupt in Frage?
> > 2. Das Intervall (-3,0). Das ist nicht kompakt.
> > Gegenbeispiel: Für [mm]n\in\IN[/mm] definiere
> > [mm]U_{n}:=\left(-3+\frac{1}{n},\infty\right)[/mm]. Das sind alle
> > Elemente der Topologie. Wie geht es weiter?
>
> [mm]S=\{ \left(-3+\frac{1}{n},\infty\right) | n=2,3,4,\ldots \}[/mm]
> Wenn x [mm]\in[/mm] [-3,0], dann gehört x zu einem Interval mit
> der Form [mm]\left(-3+\frac{1}{n},\infty\right)[/mm] und somit ist S
> eine Überdeckung von [-3,0]. Außerdem sind die Intervalle
> in S alle offen und somit ist S eine offene Überdeckung
> von [-3,0].
Es geht hier aber ums offene Intervall (-3,0) !
> Aber sei
> [mm]\{ \left(-3+\frac{1}{n_1},\infty\right) , \ldots , \left(-3+\frac{1}{n_k},\infty\right) \}[/mm]
>
> eine endliche Teilüberdeckung von S, dann wird nicht nicht
> jeder Punkt x überdeckt, für den gilt:
> x [mm]\le -3+max\{\frac{1}{n_1}, \ldots, \frac{1}{n_k}\}[/mm]
Was meinst du damit?
Meinst du statt max eigentlich min ? (Dann stimmts).
Grüße,
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:51 Mi 25.08.2010 | | Autor: | QTPi |
Hi,
> > > 1. Das Intervall [-3,0]. Das ist kompakt.
> > > Versuche dich an einem Beweis! Beginne so: Sei
> > > [mm](U_{i})_{i\in I}[/mm] eine beliebige offene Überdeckung von
> > > [-3,0]. Dann muss es ein [mm]i\in[/mm] I geben, so dass [mm](-3) \in U_{i}[/mm]
> > > ist. Welche Mengen kommen für [mm]U_{i}[/mm] nur in Frage?
> >
> > Hmm, nur Mengen, die auch in T vorkommen? Oh je, ich habe
> > immer noch ein Brett vor dem Kopf ....
>
> T besteht doch nur aus den Mengen, die in deiner Definition
> stehen.
> Alle Mengen von T sind offen. Aber wenn (-3) in einer
> Menge von T enthalten ist, welche Mengen von T kommen denn
> dann überhaupt in Frage?
Es kommen nur die Mengen von T in Frage, die (-3) enthalten, also entweder [mm] \|R [/mm] oder c>3. Aber c>3 scheint nicht zu stimmen, denn dann ist ja [mm] (-3,\infty) [/mm] und da ist (-3) nicht enthalten. Muss ich hier vielleicht mit einem Infimum arbeiten?
Es tut mir echt Leid, ich stell mich normalerweise nicht so selten dämlich an, aber Topologie raubt mir noch den letzten Nerv ...
> > > 2. Das Intervall (-3,0). Das ist nicht kompakt.
> > > Gegenbeispiel: Für [mm]n\in\IN[/mm] definiere
> > > [mm]U_{n}:=\left(-3+\frac{1}{n},\infty\right)[/mm]. Das sind alle
> > > Elemente der Topologie. Wie geht es weiter?
> >
> > [mm]S=\{ \left(-3+\frac{1}{n},\infty\right) | n=2,3,4,\ldots \}[/mm]
> > Wenn x [mm]\in[/mm] [-3,0], dann gehört x zu einem Interval mit
> > der Form [mm]\left(-3+\frac{1}{n},\infty\right)[/mm] und somit ist S
> > eine Überdeckung von [-3,0]. Außerdem sind die Intervalle
> > in S alle offen und somit ist S eine offene Überdeckung
> > von [-3,0].
>
> Es geht hier aber ums offene Intervall (-3,0) !
Ooops, stimmt ... vertippt ... auf meinem Schmierzettel war's richtig.
> > Aber sei
> > [mm]\{ \left(-3+\frac{1}{n_1},\infty\right) , \ldots , \left(-3+\frac{1}{n_k},\infty\right) \}[/mm]
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> >
> > eine endliche Teilüberdeckung von S, dann wird nicht nicht
> > jeder Punkt x überdeckt, für den gilt:
> > x [mm]\le -3+max\{\frac{1}{n_1}, \ldots, \frac{1}{n_k}\}[/mm]
>
> Was meinst du damit?
> Meinst du statt max eigentlich min ? (Dann stimmts).
Ja, Du hast Recht es muss min heißen - max macht ja gar kein Sinn. Sorry.
Grüße
[mm] QT\pi
[/mm]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:24 Mi 25.08.2010 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hi,
>
> > > > 1. Das Intervall [-3,0]. Das ist kompakt.
> > > > Versuche dich an einem Beweis! Beginne so: Sei
> > > > [mm](U_{i})_{i\in I}[/mm] eine beliebige offene Überdeckung von
> > > > [-3,0]. Dann muss es ein [mm]i\in[/mm] I geben, so dass [mm](-3) \in U_{i}[/mm]
> > > > ist. Welche Mengen kommen für [mm]U_{i}[/mm] nur in Frage?
> > >
> > > Hmm, nur Mengen, die auch in T vorkommen? Oh je, ich habe
> > > immer noch ein Brett vor dem Kopf ....
> >
> > T besteht doch nur aus den Mengen, die in deiner Definition
> > stehen.
> > Alle Mengen von T sind offen. Aber wenn (-3) in einer
> > Menge von T enthalten ist, welche Mengen von T kommen denn
> > dann überhaupt in Frage?
>
> Es kommen nur die Mengen von T in Frage, die (-3)
> enthalten, also entweder [mm]\|R[/mm] oder c>3. Aber c>3 scheint
> nicht zu stimmen, denn dann ist ja [mm](-3,\infty)[/mm] und da ist
> (-3) nicht enthalten. Muss ich hier vielleicht mit einem
> Infimum arbeiten?
ne, war doch okay. Ich mache es mal formal:
Seien für jedes $i$ aus einer (beliebigen) Indexmenge $I$ nun [mm] $T_i \in {\blue{\mathcal{T}:=\{\emptyset,\IR\} \cup \{(-c,\infty): c > 0\}}}$ [/mm] so, dass
[mm] $$\bigcup_i T_i \supseteq [-3,0]\,.$$
[/mm]
Ist für ein [mm] $i_0\in [/mm] I$ nun [mm] $T_{i_0}=\IR\,,$ [/mm] so ist wegen [mm] $T_{i_0}=\IR \supseteq [/mm] [-3,0]$ sicherlich [mm] $\{T_{i_0}\}$ [/mm] eine endliche (offene) Teilüberdeckung von $[-3,0]$ der (offenen) Überdeckung [mm] $\{T_i: i \in I\}$ [/mm] von $[-3,0]$ gefunden.
Wir betrachten nun also den nichttrivialen Fall, dass [mm] $T_i \not=\IR$ [/mm] für alle $i [mm] \in [/mm] I$ gilt. Dann muss es aber wegen [mm] $\bigcup_{i}T_i \supseteq [/mm] [-3,0]$ ein $j [mm] \in [/mm] I$ so geben, dass $-3 [mm] \in T_j\,.$ [/mm] Damit kann nur [mm] $T_j \not=\emptyset$ [/mm] sein, und wegen insbesondere [mm] $T_j \not=\IR$ [/mm] (wir nehmen hier ja sogar [mm] $T_i \not=\IR$ [/mm] für alle $i [mm] \in [/mm] I$ an!) existiert ein [mm] $c_j [/mm] > 0$ mit $-3 [mm] \in T_j=(-c_j,\infty)$ [/mm] (das folgt hier aus der Definition der Topologie [mm] ${\blue{\mathcal{T}}}\,.$) [/mm]
Daraus folgt [mm] $c_j [/mm] > [mm] 3\,,$ [/mm] also
[mm] $$T_j =(-c_j,\infty) \text{ mit einem }c_j [/mm] > [mm] 3\,,$$ [/mm]
und das impliziert
$$[-3,0] [mm] \subseteq (-c_j,0] \subseteq (-c_j,\infty)=T_j\,.$$
[/mm]
Also ist hier [mm] $\{T_j\}$ [/mm] eine endliche (offene) Teilüberdeckung von $[-3,0]$ der vorgegebenen (offenen) Überdeckung [mm] $\{T_i: i \in I\}$ [/mm] von [mm] $[-3,0]\,.$ [/mm] Da [mm] $\{T_i: i \in I\}$ [/mm] beliebig war (d.h. bei der Argumentation wurde keine "konkrete" offene Überdeckung benutzt, sondern nur die Eigenschaften, die eine jede offene Überdeckung hat), hat jede offene Überdeckung hier eine endliche offene Teilüberdeckung (man findet immer sogar eine Teilüberdeckung, die nur aus einer Menge der offenen Überdeckung besteht).
(Beachte: Endliche Teilüberdeckung bedeutet, dass man aus der "Familie [mm] $\{T_i: i \in I\}$ [/mm] - eine "Menge, deren Elemente wieder Mengen sind!" - endlich viele Mengen auswählen kann. Ob diese so gewählten Elemente, als eigenständige Mengen betrachtet, dann selbst endlich, abzählbar oder oder oder..., sind, interessiert uns dabei nicht. Anders formuliert:
Du musst hier aus der Indexmenge [mm] $I\,$ [/mm] eine endliche Teilmenge $E [mm] \subseteq [/mm] I$ so finden, dass [mm] $\bigcup_{e \in E} T_e \supseteq [/mm] [-3,0]$ gilt.
Das "endlich" bei "endlicher Teilüberdeckung" bedeutet also, dass "man die Indexmenge [mm] $I\,$ [/mm] durch eine endliche Indexmenge so ersetzen kann, dass die Überdeckungseigenschaft weiter vorhanden bleibt.")
Beste Grüße,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:01 Do 26.08.2010 | | Autor: | QTPi |
Herzlichen Dank für die ausführliche Erklärung, Marcel! *Brett-vom-Kopf-nehm*
Auch herzlichen Dank an Stefan für die geduldige Antworten auf meine Rückfragen. :)
Grüße
[mm] QT\pi
[/mm]
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