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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:18 Sa 02.05.2009 | | Autor: | math101 |
| Aufgabe | Sei U [mm] \subset [/mm] X offen, M [mm] \subset [/mm] X und M [mm] \cap U=\emptyset.
[/mm]
Zeigen Sie, dass [mm] U\cap \overline{M}=\emptyset [/mm] und [mm] U\cap\partial U=\emptyset.
[/mm]
Leiten Sie daraus her, dass [mm] int(\partial U)=\emptyset.
[/mm]
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Hallo, allerseits!
Ich brauch dringend Hilfe, sitze schon an der Aufgabe so lange und komme trotzdem nicht an die Lösung!!
Könnte mir jemand vielleicht helfen...BITTE!!!
ich hab nur zu [mm] U\cap\partial U=\emptyset [/mm] was gebastellt:
Angenommen es gäbe ein beliebiges x mit [mm] x\in [/mm] U und [mm] x\in \partial [/mm] U, also [mm] U\cap\partial [/mm] U={x}
Da U offen ist =>es existiert [mm] \epsilon>0 [/mm] mit [mm] B_{\epsilon}(x) \subset [/mm] U. Wenn [mm] \epsilon [/mm] groß genug ist dann folgt [mm] B_{\epsilon}(x)=U.
[/mm]
Aber wegen Annahme [mm] U\not=B_{\epsilon}(x), [/mm] da [mm] x\in \partial U=>B_{\epsilon}(x) \not\subset [/mm] U ist ein Widerspruch und [mm] U\cap\partial U=\emptyset.
[/mm]
Danke Vielmals!!!
Gruß
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:27 Sa 02.05.2009 | | Autor: | math101 |
Sei U [mm] \in [/mm] X offen, [mm] M\in [/mm] X und M [mm] \cap U=\emptyset. [/mm]
Zeigen Sie, dass [mm] U\cap \overline{M}=\emptyset [/mm] und [mm] U\cap\partial U=\emptyset. [/mm]
Leiten Sie daraus her, dass [mm] [\red] int(\partial U)=\emptyset [\red]
[/mm]
Aufgabe lautet so und nicht wie ich oben geschrieben habe.
Gruß
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:32 Sa 02.05.2009 | | Autor: | SEcki |
> Aufgabe lautet so und nicht wie ich oben geschrieben habe.
Ein Tip: man kann und darf seine eigenen Artikel ändern, wenn einem Fehler auffallen!
SEcki
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:33 Sa 02.05.2009 | | Autor: | math101 |
Wie denn??habe schon versucht aber nicht geklappt!
gruss
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:35 Sa 02.05.2009 | | Autor: | SEcki |
> Ich brauch dringend Hilfe, sitze schon an der Aufgabe so
> lange und komme trotzdem nicht an die Lösung!!
Als erstes: wie habt ihr denn genau Rand, Abschluss und Inneres definiert? Nur so kann man wirklich sinnvoll weiterhelfen.
> ich hab nur zu [mm]U\cap\partial U=\emptyset[/mm] was gebastellt:
> Angenommen es gäbe ein beliebiges x mit [mm]x\in[/mm] U und [mm]x\in \partial[/mm]
> U, also [mm]U\cap\partial[/mm] U={x}
Nein, nur [m]U\cap\partial U \supset \{x\}[/m]
> Da U offen ist =>es existiert [mm]\epsilon>0[/mm] mit
> [mm]B_{\epsilon}(x) \subset[/mm] U.
Ja.
> Wenn [mm]\epsilon[/mm] groß genug ist
> dann folgt [mm]B_{\epsilon}(x)=U.[/mm]
Nein, sicher nicht.
> Aber wegen Annahme [mm]U\not=B_{\epsilon}(x),[/mm] da [mm]x\in \partial U=>B_{\epsilon}(x) \not\subset[/mm]
> U ist ein Widerspruch und [mm]U\cap\partial U=\emptyset.[/mm]
Das verstehe ich nicht.
SEcki
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:45 Sa 02.05.2009 | | Autor: | math101 |
Hallo!!Danke für deine Hilfe!!
Also Rand haben wir definiert als: sei [mm] M\subset [/mm] X, dann
[mm] \partial [/mm] M={x, x ist Berührpunkt von M und x ist Berührpunkt von [mm] X\M}.
[/mm]
Der Abschluss von M wäre dann:
[mm] \overline{M} [/mm] ={x, x ist Berührungspunkt von M}.
Das Innere von M:
int(M)={x, es existiert U Umgebung von x mit [mm] U\subset [/mm] M}.
Diese Definitione verstehe ich aber wie ich die Aufgabe richtig beweisen und den Beweis richtig aufschreiben soll, da bin ich total verwirrt!!
Gruß
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:54 Sa 02.05.2009 | | Autor: | SEcki |
> Hallo!!Danke für deine Hilfe!!
> Also Rand haben wir definiert als: sei [mm]M\subset[/mm] X, dann
> [mm]\partial[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
M={x, x ist Berührpunkt von M und x ist
> Berührpunkt von [mm]X\M}.[/mm]
Bitte versuche dich am Formeleditor: \ wird geschluckt, benutze [mm] \setminus [/mm] dafür, Danke! Sie x also in U und Berührpunkt - was folgt dann jeweils nach Definition von Berührpunkt und nach Definition von U offen? Dann folgt schnell ein Widerspruch.
> Der Abschluss von M wäre dann:
> [mm]\overline{M}[/mm] ={x, x ist Berührungspunkt von M}.
Was wäre denn, wenn es ein [m]x\in U\cap \ovverline{M}[[/m] gleichzeitg wäre? Jeweils wieder beide Definitionen anwerfen.
> Diese Definitione verstehe ich aber wie ich die Aufgabe
> richtig beweisen und den Beweis richtig aufschreiben soll,
Hm. Sicher? Versuche nochmal die Definitionen und Bedeutungen dir klar zu machen - auch an der Aufgabe. Die Widersprüche sind dann sehr schnell erledigt.
SEcki
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:09 Sa 02.05.2009 | | Autor: | math101 |
Also wenn x [mm] \in [/mm] U und [mm] x\in \overline{M} [/mm] (x Berührungspunkt von M), dann für jedes [mm] x\in [/mm] U, U ist Umgebung von x, d.h es existiert ein [mm] \epsilon>0 [/mm] mit [mm] B_{\epsilon}(x) \subset [/mm] U, und für jedes [mm] x\in \overline{M} [/mm] gilt [mm] x\in [/mm] M, da aber gegeben U [mm] \cap M=\emptyset, [/mm] dann ist es ein Widerspruch.
So wäre es richtig?
Gruß
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:39 Sa 02.05.2009 | | Autor: | SEcki |
> Also wenn x [mm]\in[/mm] U und [mm]x\in \overline{M}[/mm] (x Berührungspunkt
> von M), dann für jedes [mm]x\in[/mm] U, U ist Umgebung von x, d.h es
Bitte was? Erst ein spezielels x, dann ein allgmeines? Was machst du da?
> existiert ein [mm]\epsilon>0[/mm] mit [mm]B_{\epsilon}(x) \subset[/mm] U, und
Also, falls [m]x\in U[/m].
> für jedes [mm]x\in \overline{M}[/mm] gilt [mm]x\in[/mm] M,
Nein, das gilt sicher nicht Allgemein.
> da aber gegeben U
> [mm]\cap M=\emptyset,[/mm] dann ist es ein Widerspruch.
Ich verstehe nichts. Du hast nirgends verwendet, wie [m]\overline{M}[/m] definiert ist, so kann das nicht gehen.
SEcki
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:17 Sa 02.05.2009 | | Autor: | math101 |
Hi, SEcki!!! Ich glaub eich hab da wircklich ein wenig vermasselt...:/ tschuldigung!
So jetzt hab ichs korigiert:
Angenommen, [mm] U\cap\overline{M}=x, [/mm] d.h [mm] x\in \overline{M} [/mm] und [mm] x\in [/mm] U.
[mm] x\in \overline{M} [/mm] bedeutet x ist Berührpunkt von M => [mm] x\in [/mm] M oder x ist Häufungspunkt von M. x ist HP von M <=>für jede Umgebung K von x gilt: es existiert [mm] y\in [/mm] K\ {x}.
x [mm] \in [/mm] U bedeutet [mm] x\in [/mm] intU, weil U offen ist, d.h es existiert ein [mm] \epsilon>0 [/mm] mit [mm] B_{\epsilon}(x) \subset [/mm] U.
Du hast gesagt ich muss Definitionen von beiden Mengen zusammenwerfen, das habe ich gemacht, aber ich sehe trotzdem keinen Widerspruch dabei. Was soll ich machen??? ![[keineahnung]](/images/smileys/keineahnung.gif "[keineahnung]")
Danke dir für Hilfe und für deine Geduld :(
Gruß
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:44 Sa 02.05.2009 | | Autor: | SEcki |
> Angenommen, [mm]U\subset \overline{M}=x,[/mm]
Das glaube ich nicht. Kraut und Rüben sind das! Du meinst: [m]U\cap \overline{M}\ni x[/m]!
> d.h [mm]x\in \overline{M}[/mm]
> und [mm]x\in[/mm] U.
Schon eher.
> [mm]x\in \overline{M}[/mm] bedeutet x ist Berührpunkt von M => [mm]x\in[/mm]
> M oder x ist Häufungspunkt von M. x ist HP von M <=>für
> jede Umgebung K von x gilt: es existiert [mm]y\in[/mm] K\ {x}.
... mit [m]y\in M[/m], oder? Das schreibst du nicht. Also: für jede Umgebung gibt es ein [m]y\in M\cap K\setminus \{x\}[/m].
> x [mm]\in[/mm] U bedeutet [mm]x\in[/mm] intU, weil U offen ist, d.h es
> existiert ein [mm]\epsilon>0[/mm] mit [mm]B_{\epsilon}(x) \subset[/mm] U.
Tja, und das ist eine Umgebung von x. Nun, x ist nicht in M (Vorraussetzung). Wenn x jetzt ein HP wäre, müsste ein y existieren mit [m]y \in B_{\epsilon}(x) \cap M[/m] - das ist aber die leere Menge nach Vorraussetzung. Widerspruch. Fertig.
Bitte bemühe dich um die Form, vor allem um lesbare Formeln - so macht das nicht zu viel Spaß zu helfen und damit verringerst du die Anzahl der Antworten auf deine Posts!
SEcki
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:48 Sa 02.05.2009 | | Autor: | math101 |
Danke-Danke-Danke!!!! :))))))
Ich freue mich so!!
Gruß
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:18 So 03.05.2009 | | Autor: | math101 |
Hallo, SEcki!!!
Könntest du mir noch bischen helfen bei der Aufgabe?
Ich hab mir das zu dem zweiten Teil der Aufgabe überlegt:
zu zeigen ist also [mm] U\cap \partial U=\emptyset.
[/mm]
Angenommen, [mm] U\cap \partial [/mm] U=x, das heißt [mm] x\in [/mm] U und x [mm] \in \partial [/mm] U.
[mm] x\in \partial [/mm] U [mm] =>x\in [/mm] {a, a ist Berührpunkt von U und a ist Berührpunkt von [mm] X\backslash [/mm] U}:
x ist Berührpunkt von U=> [mm] x\in [/mm] U oder x ist Häufungspunkt von U, wenn x HP von U =>für jede K Umgebung von x gilt: es existiert ein [mm] y\in K\backslash [/mm] {x} mit [mm] y\in [/mm] M.
x ist Berührpunkt von [mm] X\backslash [/mm] U=> x [mm] \in [/mm] M oder x ist Häufungspunkt von M
=> [mm] x\in [/mm] M und [mm] x\in [/mm] U, das ist ein Widerspruch zur Voraussetzung [mm] U\cap M=\emptyset.
[/mm]
Kann ich die Aufgabe so beweisen oder muss ich nur benutzen, dass U offen ist?
Daanke dir vielmals!!!
GRUß
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:10 Mo 04.05.2009 | | Autor: | SEcki |
> Angenommen, [mm]U\cap \partial[/mm] U=x,
Nein, das stimmt nicht. Wie schon mehrfach geschrieben!
> das heißt [mm]x\in[/mm] U und x [mm]\in \partial[/mm]
> U.
Heißt es nicht, aber das brauchen wir hier.
> [mm]x\in \partial[/mm] U [mm]=>x\in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
{a, a ist Berührpunkt von U und a
> ist Berührpunkt von [mm]X\backslash[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
U}:
Ja.
> x ist Berührpunkt von U=> [mm]x\in[/mm] U oder x ist Häufungspunkt
> von U, wenn x HP von U =>für jede K Umgebung von x gilt: es
> existiert ein [mm]y\in K\backslash[/mm] {x} mit [mm]y\in[/mm] M.
Was ist M?
> x ist Berührpunkt von [mm]X\backslash[/mm] U=> x [mm]\in[/mm] M oder x ist
> Häufungspunkt von M
> => [mm]x\in[/mm] M und [mm]x\in[/mm] U,
und wieso wieder M?
> das ist ein Widerspruch zur
> Voraussetzung [mm]U\cap M=\emptyset.[/mm]
Hier das gleiche Problem!
> Kann ich die Aufgabe so
> beweisen oder muss ich nur benutzen, dass U offen ist?
Du solltest einen ähnlichen Widerspruch führen wie im anderen Fall - im Rand sind immer Punkte, die in jeder Umgebung Elemente außerhalb von U entahlten. Dies widerspricht für Elemente in U der Offenheit von U.
SEcki
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:24 Mo 04.05.2009 | | Autor: | math101 |
Hallo!
Also nochmal: zu zeigen [mm] U\cap \partial U=\emptyset. [/mm]
Angenommen, [mm] U\cap \partial [/mm] U=x, dann [mm] x\in [/mm] U und x [mm] \in \partial [/mm] U.
[mm] x\in \partial [/mm] U [mm] =>x\in [/mm] {a, a ist Berührpunkt von U und a ist Berührpunkt von X [mm] \backslash [/mm] U}:
x ist Berührpunkt von U=> [mm] x\in [/mm] U oder x ist Häufungspunkt von U, wenn x HP von U =>für jede K Umgebung von x gilt: es existiert ein [mm] y\in K\backslash [/mm] {x} mit y [mm] \in X\backslash [/mm] U.
x ist BP von [mm] X\backslash [/mm] U bedeutet: x [mm] \in X\backslash [/mm] U oder x ist HP von [mm] X\backslash [/mm] U, wenn x HP von [mm] X\backslash [/mm] U, dann für jede L Umgebung von x gilt: es existiert [mm] w\in L\backslash [/mm] {x} mit w [mm] \in [/mm] U.
Das bedeutet für jedes x [mm] \in \partial [/mm] U existiert [mm] \epsilon>0, [/mm] wobei [mm] B_{\epsilon}(x) [/mm] y [mm] \in [/mm] U und [mm] w\in X\backslash [/mm] U enthält, das aber widerspricht der Definition der Offenheit einer Menge( es existiert [mm] \epsilon [/mm] >0 mit [mm] B_{\epsilon}(x)\subset [/mm] U)
=> [mm] U\cap \partial U=\emptyset
[/mm]
Jetzt ist es glaube ich in Ordnung.
Danke dir SEcki vielmals für die Hilfe!!
Gruß
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:01 Mo 04.05.2009 | | Autor: | SEcki |
> Jetzt ist es glaube ich in
> Ordnung.
Im Großen und Ganzne, ich hab jetzt nicht mehr die Variablen überprüft ...
SEcki
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:59 Mo 04.05.2009 | | Autor: | math101 |
DANKE!!!Echt nett von dir!!
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