Mengen im Komplexen < Komplexe Zahlen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:47 Mi 20.11.2013 | | Autor: | Bindl |
| Aufgabe | Skizzieren Sie den Durchschnitt der drei Mengen
[mm] M1=\{z \in \IC: |z + 1|^2 - 1 \le |z|^2 + 4|Im(z)|\}\subset\IC
[/mm]
[mm] M2=\{z \in \IC: (Re(z + 2i))^2 + (Im(z - 3))^2 \le 3^4\}\subset\IC
[/mm]
[mm] M3=\{z \in \IC: (Im(z - 5i - 3))^2 + (Re(z + 3i - 5))^2 > e^{i0}\}\subset\IC
[/mm]
in der komplexen Zahlenebene. Dabei macht man natürlich klar, welche Teile (Inneres, Rand) zur Menge gehören. |
Hi zusammen,
hier mein Lösungversuch:
M2:
[mm] x^2+y^2\le 3^4
[/mm]
x + y [mm] \le [/mm] 9
y [mm] \le [/mm] -x + 9
M3:
(y - [mm] 5)^2 [/mm] + (x - [mm] 5)^2 [/mm] > 1
y - 5 + x - 5 > 1
y > -x + 11
M1:
(x + y + 1)(x + y +1) [mm] \le x^2 [/mm] + 2xy + [mm] y^2² [/mm] + 4y
[mm] x^2 [/mm] + xy + x + xy + [mm] y^2 [/mm] + y + x + y + 1 [mm] \le x^2 [/mm] + 2xy + [mm] y^2 [/mm] + 4y
2xy + 1 [mm] \le [/mm] 2y
y [mm] \le -\bruch{1}{2x - 2}
[/mm]
Mein Problem ist die Menge M1.
der Graph der Funktion sieht doch recht komisch aus. habe ich bei M1 einen Fehler gemacht und wenn ja welchen ?
Danke schonmal für eure Hilfe im voraus
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:02 Mi 20.11.2013 | | Autor: | fred97 |
> Skizzieren Sie den Durchschnitt der drei Mengen
> M1 = [mm]\{z \in \IC: |z + 1|^2 - 1 \le |z|^2 + 4|Im(z)|\} \subset \IC[/mm]
>
> M2 = [mm]\{z \in \IC: (Re(z + 2i))^2 + (Im(z - 3))^2 \le 3^4\} \subset \IC[/mm]
>
> M1 = [mm]\{z \in \IC: (Im(z - 5i - 3))^2 + (Re(z + 3i - 5))^2 > e^i0\} \subset[/mm]
> IC
> in der komplexen Zahlenebene. Dabei macht man natürlich
> klar, welche Teile (Inneres, Rand) zur Menge gehören.
>
> Hi zusammen,
> hier mein Lösungversuch:
> M2:
> [mm]x^2+y^2\le 3^4[/mm]
Ja, das stimmt.
> x + y [mm]\le[/mm] 9
Oh !!! Nein !!! Das ist ein Verbrechen. Überlege , warum !
> y [mm]\le[/mm] -x + 9
>
> M3:
> (y - [mm]5)^2[/mm] + (x - [mm]5)^2[/mm] > 1
O.K.
> y - 5 + x - 5 > 1
Du bist Wiederholungstäter !!!!!
> y > -x + 11
>
> M1:
> (x + y + 1)(x + y +1) [mm]\le x^2[/mm] + 2xy + [mm]y^2²[/mm] + 4y
Das ist ja grausam ! Schau Dir mal an, wie der Betrag einer komplexen Zahl def. ist !!!
FRED
> [mm]x^2[/mm] + xy + x + xy + [mm]y^2[/mm] + y + x + y + 1 [mm]\le x^2[/mm] + 2xy +
> [mm]y^2[/mm] + 4y
> 2xy + 1 [mm]\le[/mm] 2y
> y [mm]\le -\bruch{1}{2x - 2}[/mm]
>
> Mein Problem ist die Menge M1.
> der Graph der Funktion sieht doch recht komisch aus. habe
> ich bei M1 einen Fehler gemacht und wenn ja welchen ?
>
> Danke schonmal für eure Hilfe im voraus
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:36 Mi 20.11.2013 | | Autor: | Bindl |
Ok ich denke mal der Fehler war die Wurzel und der Betrag der komplexen.
Hier meine neuen Ansätze:
M2:
x² + y² [mm] \le 3^4
[/mm]
y² [mm] \le [/mm] 81 - x²
y [mm] \le \pm [/mm] (9 - x)
M3:
(y - 5)² + (x - 5)² > 1
(y² - 10y + 25) + (x² - 10x + 25) > 1
M1: |z| = [mm] \wurzel{x² + y²}
[/mm]
[mm] (\wurzel{x² + y² + 1²})² [/mm] - 1 [mm] \le (\wurzel{x² + y²})² [/mm] + [mm] 4\wurzel{y²}
[/mm]
Sind die Ansätze nun richtig ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:43 Mi 20.11.2013 | | Autor: | M.Rex |
> Ok ich denke mal der Fehler war die Wurzel und der Betrag
> der komplexen.
>
> Hier meine neuen Ansätze:
> M2:
> x² + y² [mm]\le 3^4[/mm]
> y² [mm]\le[/mm] 81 - x²
> y [mm]\le \pm[/mm] (9 - x)
Das stimmt nicht, hier hast du wieder "Summandenweise die Wurzel gezogen"
>
> M3:
> (y - 5)² + (x - 5)² > 1
> (y² - 10y + 25) + (x² - 10x + 25) > 1
Das stimmt
>
> M1: |z| = [mm]\wurzel{x² + y²}[/mm]
> [mm](\wurzel{x² + y² + 1²})²[/mm]
> - 1 [mm]\le (\wurzel{x² + y²})²[/mm] + [mm]4\wurzel{y²}[/mm]
>
> Sind die Ansätze nun richtig ?
Hier überdenke nochmal die Wirkung des Quadrates auf die Wurzel.
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:08 Mi 20.11.2013 | | Autor: | Bindl |
Zu M2:
y [mm] \le [/mm] 9 [mm] \pm [/mm] x Stimmt das jetzt ?
Zu M3:
Die Kreisgleichung sehe ich jetzt auch
[mm] (x-5)^2 [/mm] + [mm] (y-5)^2 [/mm] > 1
Der Mittelpunkt M(5,5) bekomme ich noch hin.
Nur was ist nochmal der Radius des Kreises ?
Ist alles schon eine Weile her.
Zu M1:
Bekomme ich dann [mm] x^2 [/mm] + [mm] y^2 [/mm] + 1 - 1 [mm] \le x^2 [/mm] + [mm] y^2 \pm [/mm] 4y
Ist das [mm] \pm [/mm] richtig oder kann ich einfach + 4y schreiben ?
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Hallo,
> Zu M2:
> y [mm]\le[/mm] 9 [mm]\pm[/mm] x Stimmt das jetzt ?
Nein. Wie hast du das Quadrat am y wegbekommen, und was soll das [mm] \pm [/mm] vor dem x???
> Zu M3:
> Die Kreisgleichung sehe ich jetzt auch
> [mm](x-5)^2[/mm] + [mm](y-5)^2[/mm] > 1
> Der Mittelpunkt M(5,5) bekomme ich noch hin.
> Nur was ist nochmal der Radius des Kreises ?
> Ist alles schon eine Weile her.
Den Satz des Pythagoras wirst du aber schon noch kennen? Für jeden Punkt auf einem Kreis um den Koordinatenursprung mit dem Radius r gilt danach (->nachprüfen!!!)
[mm] x^2+y^2=r^2
[/mm]
> Zu M1:
> Bekomme ich dann [mm]x^2[/mm] + [mm]y^2[/mm] + 1 - 1 [mm]\le x^2[/mm] + [mm]y^2 \pm[/mm] 4y
>
Nein. Wie ist der Betrag einer komplexen Zahl definiert? Konkret ist die linke Seite völlig falsch.
> Ist das [mm]\pm[/mm] richtig oder kann ich einfach + 4y schreiben ?
Oh je. Warum sollte man hier ein [mm] \pm [/mm] setzen, gibt es dafür irgendeinen Grund?
Du machst es dir zu einfach. Es geht nicht darum, irgendwelche Regeln blindlings anzuwenden, sondern erst einmal sollte man eine Aufgabenstellung verstanden haben.
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:21 Mi 20.11.2013 | | Autor: | Bindl |
Zu M2:
[mm] x^2 [/mm] + [mm] y^2 \le 3^4
[/mm]
[mm] y^2 \le [/mm] 81 - [mm] x^2
[/mm]
y [mm] \le [/mm] 9 - [mm] (\pm [/mm] x)
Also ich weiß jetzt echt nicht mehr was ich sonst machen könnte.
Zu M3:
Ist der Radius [mm] \wurzel{1} [/mm] = 1 ?
Da 1 ja das [mm] r^2 [/mm] bie [mm] x^2 [/mm] + [mm] y^2 [/mm] = [mm] r^2 [/mm] ist, richtig ?
Zu M1:
|z| = [mm] \wurzel{x^2 + y^2}
[/mm]
[mm] (\wurzel{x^2 + y^2 + 1^2})^2 [/mm] - 1 [mm] \le (\wurzel{x^2 + y^2})^2 [/mm] + [mm] 4\wurzel{y^2}
[/mm]
[mm] x^2 [/mm] + [mm] y^2 [/mm] + 1 - 1 [mm] \le x^2 [/mm] + [mm] y^2 [/mm] + 4y
Was mache ich hier falsch ?
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Hallo Bindl,
> Zu M2:
> [mm]x^2[/mm] + [mm]y^2 \le 3^4[/mm]
> [mm]y^2 \le[/mm] 81 - [mm]x^2[/mm]
> y [mm]\le[/mm] 9 - [mm](\pm[/mm] x)
Wieso ziehst du trotz 1000000000-fachen Hinweises auf die Falschheit immer und immer und immer wieder summandenweise die Wurzel?
Es ist i.A. [mm]\sqrt{a+b}\neq (!!!!!) \sqrt a+\sqrt b[/mm]
Es ist [mm]x^2+y^2\le 3^4[/mm]
[mm]\gdw (x-0)^2+(y-0)^2\le 9^2[/mm]
Und das erinnert doch stark an die Kreisgleichung, oder?
Nur dass hier nicht "=" sondern [mm]\le[/mm] steht.
Das ist also offensichtlich die Kreisscheibe inklusive Rand des Kreises um z=0 mit Radius 9
> Da 1 ja das [mm]r^2[/mm] bie [mm]x^2[/mm] + [mm]y^2[/mm] = [mm]r^2[/mm] ist, richtig ?
Ja, der Radius ist 1
Der Mittelpunkt ist aber ein anderer, wenn ich das richtig überflogen habe oben...
>
> Zu M1:
> |z| = [mm]\wurzel{x^2 + y^2}[/mm]
Ja, für z=x+iy
[mm]
(\wurzel{x^2 + y^2 + 1^2})^2[/mm] - 1 ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Au weia, mit Wurzeln und Quadraten hast du es aber nicht so ...
Es ist mit [mm]z=x+iy[/mm] doch [mm]|z+1|^2=|x+iy+1|^2=|(x+1)+iy|^2=\sqrt{(x+1)^2+y^2}^2[/mm]
[mm]
> [mm]\le (\wurzel{x^2 + y^2})^2[/mm] + [mm]4\wurzel{y^2}[/mm]
> [mm]x^2[/mm] + [mm]y^2[/mm] + 1 - 1 [mm]\le x^2[/mm] + [mm]y^2[/mm] + 4y
>
> Was mache ich hier falsch ?
Der Realteil von z+1 ist x+1, der Imaginärteil y, also [mm]|z+1|=\sqrt{(x+1)^2+y^2}[/mm]
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:30 Mi 20.11.2013 | | Autor: | Bindl |
Danke für die Hilfe.
War eine schwere Geburt, ich weiß
Also merci, merci und nochmal merci
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:40 Mi 20.11.2013 | | Autor: | leduart |
Hallo
du machst pausenlos auf verschiedene Weise den Fehler [mm] \sqrt{a^2+b^2}=a+b [/mm] oder [mm] =a+\pm [/mm] b zu setzen. das ist wirklich unsinnig.
überzeug dich mal selbst indem du für a und b Zahlen [mm] einsetzt-\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2} [/mm] und sicher nicht 1+1 oder [mm] 1\pm [/mm] 1!
schreib für die Mengen erstmal z=x+iy, dann z+1=x+1 +iy dann |z+1|
usw auf, dann erst können wir sehen was in deinem Kopf falsch läuft. entsprechend bei den anderen Mengen.
Gruss leduart
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Hallo Bindl!
Bitte verwende als Exponenten / Hochzahlen ^2 u.ä. und nicht ², das wird hier nicht korrekt angezeigt.
> M3:
> (y - 5)² + (x - 5)² > 1
> (y² - 10y + 25) + (x² - 10x + 25) > 1
Warum willst Du das überhaupt ausmultiplizieren?
Du hast doch bereits eine wunderbare Darstellung, welche Dir an eine "ziemlich runde Sache" erinnern sollte.
Guß vom
Roadrunner
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:59 Mi 20.11.2013 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Hallo Bindl!
>
>
> Bitte verwende als Exponenten / Hochzahlen ^2 u.ä. und
> nicht ², das wird hier nicht korrekt angezeigt.
>
>
>
> > M3:
> > (y - 5)² + (x - 5)² > 1
> > (y² - 10y + 25) + (x² - 10x + 25) > 1
>
> Warum willst Du das überhaupt ausmultiplizieren?
> Du hast doch bereits eine wunderbare Darstellung, welche
> Dir an eine "ziemlich runde Sache" erinnern sollte.
Auch M1 ist solch ein rundes Ding.
Da war ich von einer falsch umgeformten Menge ausgegangen, das passt also leider nicht.
Danke Diophant, fürs Korrigieren.
>
>
> Guß vom
> Roadrunner
Marius
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:20 Mi 20.11.2013 | | Autor: | Diophant |
Hallo Marius,
> Auch M1 ist solch ein rundes Ding.
bei mir ist M1 eher ziemlich gerade. 
Beste Grüße, Johannes aka Diophant
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:30 Mi 20.11.2013 | | Autor: | M.Rex |
> Hallo Marius,
>
> > Auch M1 ist solch ein rundes Ding.
>
> bei mir ist M1 eher ziemlich gerade.
>
> Beste Grüße, Johannes aka Diophant
Mit der korrekten Fassung ist es in der Tat so. Ich hatte eine falsche Umformung für korrekt erachtet.
Marius
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