Mengen bei Funktionen < Mengenlehre < Logik+Mengenlehre < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:45 Di 31.10.2006 | | Autor: | gore |
| Aufgabe | Seien [mm]A, B[/mm] Mengen und [mm]f : A \rightarrow B[/mm].
Zu zeigen: für beliebige Teilmengen [mm]U, V \subset A[/mm] gilt:
1.) Aus [mm] U \subset V[/mm] folgt [mm]f(U) \subset f(U)[/mm]
2.)[mm]f(U \cap V) \subset f(U) \cap f(V)[/mm] |
Hallo,
also, ich habe das mit den Mengen verstanden, allerdings nur, bis da Funktionen dazu kamen. :(
In den Aufgaben tauchen Mengen ja jetzt in Verbindung mit einer Funktion auf und ich kann mir das nicht so richtig vorstellen. Kann mir das vielleicht jemand anschaulich an einem Beispiel für die beiden Aufgaben verdeutlichen/erklären, damit ich die allgemein lösen kann??
Freue mich sehr über jede Hilfe ;)
Gruß.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:22 Mi 01.11.2006 | | Autor: | gore |
Hmm, kann mir keiner helfen? :(
ich kann doch nicht einfach nur das machen, oder?
[mm] U \subset V[/mm] folgt [mm]f(U) \subset f(U)[/mm]
[mm]x \varepsilon U \subset V \Rightarrow x \varepsilon V[/mm]
und das analog auf die Funktionen [mm] f(U \cap V) \subset f(U) \cap f(V)[/mm] beziehen?!? :/
(und genauso bei der 2. Aufgabe....)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:03 Mi 01.11.2006 | | Autor: | Sigrid |
Hallo gore,
> Seien [mm]A, B[/mm] Mengen und [mm]f : A \rightarrow B[/mm].
> Zu zeigen: für
> beliebige Teilmengen [mm]U, V \subset A[/mm] gilt:
> 1.) Aus [mm]U \subset V[/mm] folgt [mm]f(U) \subset f(U)[/mm]
> 2.)[mm]f(U \cap V) \subset f(U) \cap f(V)[/mm]
>
> Hallo,
> also, ich habe das mit den Mengen verstanden, allerdings
> nur, bis da Funktionen dazu kamen. :(
> In den Aufgaben tauchen Mengen ja jetzt in Verbindung mit
> einer Funktion auf und ich kann mir das nicht so richtig
> vorstellen. Kann mir das vielleicht jemand anschaulich an
> einem Beispiel für die beiden Aufgaben
> verdeutlichen/erklären, damit ich die allgemein lösen
> kann??
Bei (1) würde ich es so machen:
Du musst unter der Voraussetzung $ U [mm] \subset [/mm] V $ zeigen, dass für jedes $y [mm] \in [/mm] f(U) $ auch gilt $ y [mm] \in [/mm] f(V) $
Also nimmst ein $ y [mm] \in [/mm] f(U) $
$ y [mm] \in [/mm] f(U) $
$ [mm] \Rightarrow [/mm] $ Es gibt (mindestens) ein $ x [mm] \in [/mm] U $ mit $ y = f(x) $
$ [mm] \Rightarrow [/mm] $ Es gibt (mindestens) ein $ x [mm] \in [/mm] V $ mit $ y = f(x) $ da $ U [mm] \subset [/mm] V $
$ [mm] \Rightarrow [/mm] y [mm] \in [/mm] f(V) $
Versuche jetzt einmal die 2. Aussage
Gruß
Sigrid
> Freue mich sehr über jede Hilfe ;)
> Gruß.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:34 Mi 01.11.2006 | | Autor: | gore |
hey, danke für deine Antwort :)
hm... also, ich habe die 2. Aufgabe jetzt so bearbeitet:
[mm] y \in f(U \cap V) \Rightarrow \exists x \in U \cap V \Rightarrow x \in U \cap x \in V \Rightarrow y \in f(U) \cap y \in f(V)[/mm]
hm, aber stimmt das so? wie komme ich darauf, dass [mm]f(U \cap V)[/mm] tatsächliche eine Teilmenge von [mm]f(U) \cap f(V)[/mm] ist?
Ich verstehe immer noch nicht ganz was die Funktion dabei ausmacht und warum z.B. das eine Gleichung ist: [mm]f(U \cup V) = f(U)\cup f(V)[/mm] ? :(
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:56 Mi 01.11.2006 | | Autor: | gore |
hi, sorry, mein letzter Post gilt natürlich als Frage und nicht als Mitteilung. Ist ja ein kleiner Unterschied ;)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:02 Do 02.11.2006 | | Autor: | gore |
wo ist mein denkfehler? :(
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> wo ist mein denkfehler? :(
Was bezweckst du mit dieser Frage?
Deine Frage hattest Du doch schon gestellt.
Soll man sie dir doppelt beantworten, oder wie?
Gruß v. Angela
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>>2.)$ f(U [mm] \cap [/mm] V) [mm] \subset [/mm] f(U) [mm] \cap [/mm] f(V) $
> Ich verstehe immer noch nicht ganz was die Funktion dabei
> ausmacht und warum z.B. das eine Gleichung ist: [mm]f(U \cup V) = f(U)\cup f(V)[/mm]
> ?
Hallo,
hast Du den Begriff "Bildmenge" verstanden?
Was verbirgt sich hinter f(U)? Wie ist das definiert?
Gleichung? Was genau meinst Du mit "warum z.B. das eine Gleichung ist: [mm]f(U \cup V) = f(U)\cup f(V)[/mm]".
Verstehst Du nicht, warum diese Mengen gleich sind ? Oder verstehst Du die Mengen als solche nicht?
> hm... also, ich habe die 2. Aufgabe jetzt so bearbeitet:
> [mm]y \in f(U \cap V) \Rightarrow \exists x \in U \cap V
hier müßtest Du jetzt zusätzlich schreiben, welche Eigenschaft das real existierende x hat. Wenn Du "Bildmenge" verstanden hast, weißt Du das.
Wenn Du diese Eigenschaft hast, kommst Du ordnungsgemäß zum Ziel:
> ... \Rightarrow y \in f(U) \cap y \in f(V)[/mm]
Gruß v. Angela
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