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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:22 Mo 29.10.2007 | | Autor: | then3210 |
| Aufgabe | Beweise:
[mm]M \cup N=N \gdw N \cap M=M \gdw M \subseteq N[/mm] |
Kann ich sagen [mm]N \cap M \subseteq M \cup N
\gdw M \cap N \subseteq M \cup N[/mm] ?
Und der Beweis hier reicht für alles?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:13 Di 30.10.2007 | | Autor: | koepper |
Hallo then,
> Beweise:
>
> [mm]M \cup N=N \gdw N \cap M=M \gdw M \subseteq N[/mm]
> Kann ich
> sagen [mm]N \cap M \subseteq M \cup N
\gdw M \cap N \subseteq M \cup N[/mm]
> ?
Das verstehe ich leider nicht.
Dein "Beweis" besteht aus einer Äquivalenz und auf beiden Seiten stehen allgemeingültige Aussagen.
Das beweist gar nichts.
Mein Vorschlag: Versuch es mal mit einem sogenannten Kreisschluss:
$M [mm] \subseteq [/mm] N [mm] \Rightarrow [/mm] N [mm] \cap [/mm] M = M [mm] \Rightarrow [/mm] M [mm] \cup [/mm] N = N [mm] \Rightarrow [/mm] M [mm] \subseteq [/mm] N.$
Damit wären dann alle Äquivalenzen bewiesen.
Fange in etwa so an:
Sei $M [mm] \subseteq [/mm] N.$ Dann gilt für alle $x [mm] \in [/mm] M$ auch $x [mm] \in [/mm] N.$ Sei nun $x [mm] \in [/mm] N [mm] \cap [/mm] M.$ Dann ist $x [mm] \in [/mm] N$ und $x [mm] \in [/mm] M.$ Also gilt schonmal $N [mm] \cap [/mm] M [mm] \subseteq [/mm] M.$ Nun sei umgekehrt $x [mm] \in [/mm] M.$ Dann folgt $x [mm] \in [/mm] N,$ also auch $x [mm] \in [/mm] N [mm] \cap [/mm] M$ und daher $M [mm] \subseteq [/mm] N [mm] \cap [/mm] M.$ Beide Inklusionen zusammen zeigen $N [mm] \cap [/mm] M = M.$
... den Rest schaffst du selbst, in diesem Stil.
Das ist natürlich extrem ausführlich.
Aber solch einfache Beweise muss man so ausführlich machen, sonst kann man sie gleich weglassen.
In den nächsten Vorlesungen wirst du als "Beweis" für so etwas allenfalls noch das Wort "offensichtlich" hören (wenn überhaupt). Und im Hauptstudium verliert über so etwas niemand mehr ein Wort. Umso wichtiger ist es, daß du diese grundlegenden Zusammenhänge jetzt gründlich verstehst.
LG
Will
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:10 Di 30.10.2007 | | Autor: | then3210 |
Ich hatte die Frage schlecht formuliert.
Eigentlich wollte ich wissen ob ich die Aussage
[mm]M \cup N=N [/mm] und die Aussage [mm] N \cap M=M [/mm] in [mm] M \subseteq N[/mm] einsetzen kann und dann die neue Aussage [mm] M \cap N \subseteq M \cup N [/mm] Beweisen.
Wenn nicht warum?
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Zu zeigen:
>>> $ M [mm] \cup [/mm] N=N [mm] \gdw [/mm] N [mm] \cap [/mm] M=M [mm] \gdw [/mm] M [mm] \subseteq [/mm] N $
> Eigentlich wollte ich wissen ob ich die Aussage
> [mm]M \cup N=N[/mm] und die Aussage [mm]N \cap M=M[/mm] in [mm]M \subseteq N[/mm]
> einsetzen kann und dann die neue Aussage [mm]M \cap N \subseteq M \cup N[/mm]
> Beweisen.
> Wenn nicht warum?
Hallo,
ich bin mir nicht ganz sicher, was Du planst.
Du willst zeigen:
[mm] (M\cup [/mm] N=N und [mm] N\cap [/mm] M=M) ==> [mm] M\subseteq [/mm] N
Du willst es so beweisen?
Beweis: Sei [mm] M\cup [/mm] N=N und [mm] N\cap [/mm] M.
Es sei [mm] x\in M=N\cap [/mm] M
==> ... ==> ... ==> [mm] x\in M\cup [/mm] N=N.
Wenn Dir bei den Pünktchen was passendes einfällt, kannst Du es so machen.
Dann hast Du [mm] (M\cup [/mm] N=N und [mm] N\cap [/mm] M=M) ==> [mm] M\subseteq [/mm] N bewiesen.
Aber Du weißt dann natürlich immer noch nicht, ob M [mm] \cup [/mm] N=N ==> N [mm] \cap [/mm] M=M gilt.
Gruß v. Angela
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:32 Di 30.10.2007 | | Autor: | koepper |
Hallo then,
ich denke du soltest für den Beweis einer so einfachen und grundlegenden Aussage überhaupt keine bekannten Mengengesetze benutzen, sondern nur mit den Definitionen arbeiten.
Gruß
Will
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